Question

[♥ Dora Tora ♥]

Chứng minh rằng: Nếu \(ax^3=by^3=cz^3\) và \(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=1\) thì \(\sqrt[3]{ax^2+by^2+cz^2}=\sqrt[3]{a}+\sqrt[3]{b}+\sqrt[3]{c}\)

Answer 1

[Trần Thanh Phương]

Đặt \(ax^3=by^3=cz^3=k\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}a=\frac{k}{x^3}\\b=\frac{k}{y^3}\\c=\frac{k}{z^3}\end{matrix}\right.\)

Thay vào VT ta được :

\(VT=\sqrt[3]{x^2\cdot\frac{k}{x^3}+y^2\cdot\frac{k}{y^3}+z\cdot\frac{k}{z^3}}=\sqrt[3]{\frac{k}{x}+\frac{k}{y}+\frac{k}{z}}\)

\(=\sqrt[3]{k\cdot\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\right)}=\sqrt[3]{k}\) (1)

Thay vào VP ta được :

\(VP=\sqrt[3]{\frac{k}{x^3}}+\sqrt[3]{\frac{k}{y^3}}+\sqrt[3]{\frac{k}{z^3}}=\frac{\sqrt[3]{k}}{x}+\frac{\sqrt[3]{k}}{y}+\frac{\sqrt[3]{k}}{z}=\sqrt[3]{k}\cdot\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\right)\)

\(=\sqrt[3]{k}\) (2)

Từ (1) và (2) \(\Rightarrow VT=VP\)

Ta có đpcm.

Answer 2

[Dinh Thi Hai Ha]

Ta có: \(ax^3+by^3+cz^3=\frac{ax^3}{x}+\frac{by^3}{y}+\frac{cz^3}{z}\)

mà \(ax^3=by^3=cz^3\)

\(\Rightarrow ax^3\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\right)=ax^3\)

\(\Rightarrow\sqrt[3]{ax^3+by^3+cz^3}=x\sqrt[3]{a}\\ \Leftrightarrow\frac{\sqrt[3]{ax^3+by^3+cz^3}}{x}=\sqrt[3]{a}\\ \Leftrightarrow\sqrt[3]{ax^3+by^3+cz^3}.\frac{1}{x}=\sqrt[3]{a}\)

Tương tự, ta có:

\(\sqrt[3]{ax^3+by^3+cz^3}.\frac{1}{y}=\sqrt[3]{b}\)

\(\sqrt[3]{ax^3+by^3+cz^3}.\frac{1}{z}=\sqrt[3]{c}\)

Cộng vế theo vế các đẳng thức, ta có:

\(\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\right)\sqrt[3]{ax^3+by^3+cz^3}=\sqrt[3]{a}+\sqrt[3]{b}+\sqrt[3]{c}\\ =\sqrt[3]{ax^3+by^3+cz^3}=\sqrt[3]{a}+\sqrt[3]{b}+\sqrt[3]{c}\left(đpcm\right)\)

Chúc bạn học tốt!