Cho hình bình hành ABCD. M là điểm trên cạnh AB sao cho\(AM=\frac{1}{3}AB\), N là trung điểm của CD, G là trọng tâm của tam giác BMN, I là giao điểm của AG và BC. Tính tỉ số \(\frac{GA}{GI}\) và\(\frac{IB}{IC}\)
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
T
10 tháng 3 2018
Gọi E là trung điểm của MB, P là giao điểm của AI với CD. Đặt AB = a
Theo định lý Ta-lét. Ta có: \(\frac{1}{2}=\frac{GE}{GN}=\frac{AE}{NP}\)
\(=\frac{\frac{2}{3}AB}{\frac{1}{2}CD+CP}=\frac{4a}{3a+6CP}\Rightarrow CP=\frac{5a}{6}\)
Suy ra \(\frac{IB}{IC}=\frac{AB}{CP}=\frac{6}{5}\)
Vì \(\frac{GA}{GP}=\frac{GE}{GM}=\frac{1}{2}\)nên \(\frac{GA}{AP}=\frac{1}{3}\) (1)
Mà \(\frac{IA}{IP}=\frac{IB}{IC}=\frac{6}{5}\)nên kết hợp với (1) ta được: \(\frac{GI}{AP}=\frac{AI}{AP}-\frac{AG}{AP}=\frac{6}{11}-\frac{1}{3}=\frac{7}{33}\) (2)
Chia theo vế của (1) cho (2) ta được:
\(\frac{GA}{GI}=\frac{11}{7}\)
Tóm lại \(\frac{GA}{GI}=\frac{11}{7};\frac{IB}{IC}=\frac{6}{5}\)
22 tháng 9 2023
Tham khảo:
a) Ta có: M là trọng tâm của tam giác BCD
Nên M nằm trên trung tuyến BI (1)
Ta có: N là trọng tâm của tam giác ACD
Nên N nằm trên trung tuyến AI (2)
Từ (1) và (2) suy ra M và N thuộc mp (ABI)
b) Gọi H, K lần lượt là trung điểm của AG, BG
Ta có: HK // AB
AB // MN
Suy ra MN // HK
Theo định lý Ta-let, ta có: \(\frac{{GM}}{{GH}} = \frac{{GN}}{{GK}} = \frac{{MN}}{{HK}}(1)\)
Ta có:\(\frac{{HK}}{{AB}} = \frac{1}{2},\frac{{MN}}{{AB}} = \frac{1}{3}\)
Do đó \(\frac{{MN}}{{AB}}:\frac{{HK}}{{AB}} = \frac{2}{3} \Rightarrow \frac{{MN}}{{HK}} = \frac{2}{3}(2)\)
Từ (1) và (2) suy ra\(\frac{{GM}}{{GH}} = \frac{2}{3}GH = \frac{1}{2}GA \Rightarrow \frac{{GM}}{{\frac{1}{2}GA}} = \frac{2}{3} \Rightarrow \frac{{GM}}{{GA}} = \frac{1}{3}\)
Chứng minh tương tự ta được\(\frac{{GN}}{{GB}} = \frac{1}{3}\)
c) Gọi H, K lần lượt là trung điểm của BC, BD
Tam giác AHD có:\(\frac{{HM}}{{HD}} = \frac{{HQ}}{{HA}} = \frac{1}{3}\)
Suy ra: QM // AD
Do đó, tam giác QGM đồng dạng với tam giác DGA
Nên D, G, Q thẳng hàng
Ta có: QM // AD nên \(\frac{{QM}}{{AD}} = \frac{{HM}}{{HD}} = \frac{{HQ}}{{HA}} = \frac{1}{3}\)
Mà \(\frac{{QM}}{{AD}} = \frac{{QG}}{{GD}}\)
Do đó:\(\frac{{QG}}{{GD}} = \frac{1}{3}\)
Chứng minh tương tự ta được\(\frac{{GP}}{{GC}} = \frac{1}{3}\)
Suy ra điều cần chứng minh.
Mình ko làm hình đâu, mệt lắm, lần sau đừng tag nhé :(
Kéo dài AI cắt CD tại E, gọi P là trung điểm BM
Áp dụng định lý Talet: \(\frac{AP}{NE}=\frac{PG}{GN}=\frac{1}{2}\) (t/c trọng tâm)
\(\Rightarrow\frac{\frac{2}{3}AB}{\frac{1}{2}CD+CE}=\frac{1}{2}\Rightarrow\frac{\frac{2}{3}AB}{\frac{1}{2}AB+CE}=\frac{1}{2}\)
\(\Rightarrow\frac{4}{3}AB=\frac{1}{2}AB+CE\Rightarrow CE=\frac{5}{6}AB\)
Áp dụng định lý Talet: \(\frac{IB}{IC}=\frac{AB}{CE}=\frac{6}{5}\)
Kéo dài NP cắt BC tại Q
Áp dụng Talet: \(\frac{BQ}{CQ}=\frac{BP}{CN}=\frac{\frac{1}{3}AB}{\frac{1}{2}AB}=\frac{2}{3}\)
\(\Rightarrow\frac{BQ}{BQ+BC}=\frac{2}{3}\Rightarrow BQ=2BC\)
Mà \(BI=\frac{6}{11}BC\) \(\Rightarrow QI=BQ+BI=2BC+\frac{6}{11}BC=\frac{28}{11}BC\)
\(\Rightarrow\frac{QI}{QB}=\frac{\frac{28}{11}BC}{2BC}=\frac{14}{11}\)
Áp dụng định lý Menelaus cho tam giác ABI:
\(\frac{AG}{GI}.\frac{IQ}{QB}.\frac{BP}{PA}=1\) \(\Rightarrow\frac{AG}{IG}.\frac{14}{11}.\frac{1}{2}=1\Rightarrow\frac{AG}{IG}=\frac{11}{7}\)
@Nguyễn Việt Lâm