cho a,b,c>0/ CMR
\(\frac{-a+b+c}{2a}+\frac{a-b+c}{2b}+\frac{a+b-c}{2c}>=\frac{3}{2}\)
( là lớn hơn hoặc bằng nha )
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
1 tháng 6 2020
Bạn tham khảo:
Câu hỏi của khoimzx - Toán lớp 9 | Học trực tuyến
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
20 tháng 5 2020
\(\frac{a}{b+2c}+\frac{a}{b+2a}\ge\frac{4a}{2a+2b+2c}=\frac{2a}{a+b+c}\)
Tương tự: \(\frac{b}{c+2a}+\frac{b}{c+2b}\ge\frac{2b}{a+b+c}\) ; \(\frac{c}{a+2b}+\frac{c}{a+2c}\ge\frac{2c}{a+b+c}\)
Cộng vế với vế:
\(\Rightarrow\frac{1}{2}.VT+\frac{a}{b+2a}+\frac{b}{c+2b}+\frac{c}{a+2c}\ge2\)
\(\Leftrightarrow VT+\frac{2a}{b+2a}+\frac{2b}{c+2b}+\frac{2c}{a+2c}\ge4\)
\(\Leftrightarrow VT+\left(1-\frac{b}{b+2a}\right)+\left(1-\frac{c}{c+2b}\right)+\left(1-\frac{a}{a+2c}\right)\ge4\)
\(\Leftrightarrow VT\ge1+\frac{b}{b+2a}+\frac{c}{c+2b}+\frac{a}{a+2c}\)
Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c\)
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
19 tháng 6 2019
a/ BĐT sai, cho \(a=b=c=2\) là thấy
b/ \(VT=\frac{a^4}{a^2+2ab}+\frac{b^4}{b^2+2bc}+\frac{c^4}{c^2+2ac}\ge\frac{\left(a^2+b^2+c^2\right)^2}{\left(a+b+c\right)^2}=\frac{\left(a^2+b^2+c^2\right)\left(a^2+b^2+c^2\right)}{\left(a+b+c\right)^2}\)
\(VT\ge\frac{\left(a^2+b^2+c^2\right)\left(a+b+c\right)^2}{3\left(a+b+c\right)^2}=\frac{1}{3}\left(a^2+b^2+c^2\right)\)
Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c\)
c/ Tiếp tục sai nữa, vế phải là \(\frac{3}{2}\) chứ ko phải \(2\), và hy vọng rằng a;b;c dương
\(VT=\frac{a^2}{abc.b+a}+\frac{b^2}{abc.c+b}+\frac{c^2}{abc.a+c}\ge\frac{\left(a+b+c\right)^2}{abc\left(a+b+c\right)+a+b+c}\)
\(VT\ge\frac{9}{3abc+3}\ge\frac{9}{\frac{3\left(a+b+c\right)^3}{27}+3}=\frac{9}{\frac{3.3^3}{27}+3}=\frac{9}{6}=\frac{3}{2}\)
Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c=1\)
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
23 tháng 6 2019
Ta có:
\(a^3+b^3+b^3\ge3ab^2\) ; \(b^3+c^3+c^3\ge3bc^2\) ; \(c^3+a^3+a^3\ge3ca^2\)
Cộng vế với vế \(\Rightarrow a^3+b^3+c^3\ge ab^2+bc^2+ca^2\)
\(\frac{a^5}{b^2}+\frac{b^5}{c^2}+\frac{c^5}{a^2}=\frac{a^6}{ab^2}+\frac{b^6}{bc^2}+\frac{c^6}{ca^2}\ge\frac{\left(a^3+b^3+c^3\right)^2}{ab^2+bc^2+ca^2}\ge\frac{\left(a^3+b^3+c^3\right)^2}{a^3+b^3+c^3}=a^3+b^3+c^3\)
1 tháng 9 2015
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwartz ta có
\(\frac{ab}{a+3b+2c}=\frac{ab}{\left(a+c\right)+\left(b+c\right)+2b}\le\frac{ab}{9}\left(\frac{1}{a+c}+\frac{1}{b+c}+\frac{1}{2b}\right).\)
Tương tự ta có 2 bất đẳng thức khác nữa
\(\frac{bc}{b+3c+2a}=\frac{bc}{\left(b+a\right)+\left(a+c\right)+2c}\le\frac{bc}{9}\left(\frac{1}{b+a}+\frac{1}{a+c}+\frac{1}{2c}\right).\)
\(\frac{ac}{c+3a+2b}=\frac{ac}{\left(a+b\right)+\left(b+a\right)+2a}\le\frac{ac}{9}\left(\frac{1}{c+b}+\frac{1}{b+a}+\frac{1}{2a}\right).\)
Cộng ba bất đẳng thức lại cho ta \(\frac{ab}{a+3b+2c}+\frac{bc}{b+3c+2a}+\frac{ca}{c+3a+2b}\le\)
\(\le\frac{ab}{9}\left(\frac{1}{a+c}+\frac{1}{b+c}+\frac{1}{2b}\right)+\frac{bc}{9}\left(\frac{1}{b+a}+\frac{1}{a+c}+\frac{1}{2c}\right)+\frac{ac}{9}\left(\frac{1}{c+b}+\frac{1}{b+a}+\frac{1}{2a}\right)\)
\(=\frac{1}{9}\left(\frac{ab}{a+c}+\frac{bc}{a+c}\right)+\frac{1}{9}\left(\frac{ab}{b+c}+\frac{ac}{b+c}\right)+\frac{1}{9}\left(\frac{bc}{a+b}+\frac{ac}{a+b}\right)+\frac{a}{18}+\frac{b}{18}+\frac{c}{18}\)
\(=\frac{a+b+c}{6}.\) (ĐPCM)
26 tháng 5 2019
a) Dùng (a+b)2≥4ab
Chia hai vế cho a+b ( vì ab khác 0)
Ta có a+b≥\(\frac{4ab}{a+b}\) (Chuyển ab sang a+b) ta có
\(\frac{a+b}{ab}\)≥\(\frac{4}{a+b}\) <=> \(\frac{1}{a}\)+\(\frac{1}{b}\)≥\(\frac{4}{a+b}\)
<=> \(\frac{b+c-a}{2a}+1+\frac{a-b+c}{2b}+1+\frac{a+b-c}{2c}+1\ge\frac{3}{2}+3\)
<=> \(\frac{a+b+c}{2c}+\frac{a+b+c}{2b}+\frac{a+b+c}{2c}\ge\frac{9}{2}\)
<=> \(\left(a+b+c\right)\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)\ge9\)
<=> \(\frac{a}{a}+\frac{a}{b}+\frac{a}{c}+\frac{b}{a}+\frac{b}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}+\frac{c}{b}+\frac{c}{c}\ge9\)
<=> \(\left(\frac{a}{b}+\frac{b}{a}\right)+\left(\frac{a}{c}+\frac{c}{a}\right)+\left(\frac{b}{c}+\frac{c}{b}\right)\ge6\)
Ap dung bdt \(\frac{a}{b}+\frac{b}{a}\ge2\)
Suy ra ve trai >= 2.3=6=ve phai
=> DPCM
Dau = xay ra <=> a=b=c
mik phai di hoc nen tra loi tat mong ban thong cam
cảm ơn nhiều ạ