Cho \(\left(x+1\right)\left(y+1\right)=4xy\) .Cm: \(\frac{1}{\sqrt{3x^2+1}}+\frac{1}{\sqrt{3y^2+1}}\le1\)
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
26 tháng 2 2020
Bài 1 :
Từ \(\left(x+1\right)\left(y+1\right)=4xy\)
\(\Rightarrow\frac{x+1}{x}.\frac{y+1}{y}=4\Leftrightarrow\left(1+\frac{1}{x}\right)\left(1+\frac{1}{y}\right)=4\)
Đặt \(a=\frac{1}{x};b=\frac{1}{y}\), ta có :
\(\left(1+a\right)\left(1+b\right)=4\Leftrightarrow3=a+b+ab\Leftrightarrow\left(\sqrt{a}-\sqrt{b}\right)^2+2\sqrt{ab}+ab\ge2\sqrt{ab}+ab\)
Từ đó \(ab\le1\)
Áp dụng AM - GM cho 2 số thực dương ta có :
\(\frac{1}{\sqrt{3x^2+1}}=\frac{\frac{1}{x}}{\sqrt{3+\frac{1}{x^2}}}=\frac{a}{\sqrt{a+b+ab+a^2}}=\frac{a}{\sqrt{\left(a+b\right)\left(a+1\right)}}\le\frac{1}{2}\left(\frac{a}{a+b}+\frac{a}{a+1}\right)\)
Tương tự ta có :
\(\frac{1}{\sqrt{3y^2+1}}\le\frac{1}{2}.\left(\frac{a}{a+b}+\frac{b}{b+1}\right)\)
Cộng vế theo vế ta được : \(\frac{1}{\sqrt{3x^2+1}}+\frac{1}{\sqrt{3y^2+1}}\le\frac{1}{2}\left(\frac{a}{a+b}+\frac{b}{a+b}+\frac{a}{a+1}+\frac{b}{b+1}\right)\) \(\le\frac{1}{2}\left(1+\frac{2ab+a+b}{\left(a+1\right)\left(b+1\right)}\right)\le\frac{1}{2}\left(1+\frac{ab+3}{2}\right)\le\frac{1}{2}\left(1+\frac{1+3}{4}\right)\le1\) Dấu " = " xảy ra \(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}\frac{a}{a+b}=\frac{a}{b+1}\\\frac{b}{a+b}=\frac{b}{b+1}\end{matrix}\right.\Leftrightarrow a=b=1\Leftrightarrow x=y=1\)26 tháng 2 2020
Bài 1 :
Vì \(\frac{2}{b}=\frac{1}{a}+\frac{1}{c}\) nên \(b=\frac{2ac}{a+c}\)
Do đó : \(\frac{a+b}{2a-b}=\frac{a+\frac{2ac}{a+c}}{2a-\frac{2ac}{a+c}}=\frac{c^2+3ac}{2a^2}=\frac{a+3c}{2a}\)
Và : \(\frac{c+b}{2c-b}=\frac{c+\frac{2ac}{a+c}}{2c-\frac{2ac}{a+c}}=\frac{c^2+3ac}{2c^2}=\frac{c+3a}{2c}\)
Suy ra \(P=\frac{a+b}{2a-b}+\frac{c+b}{2c-b}=\frac{a+3c}{2a}+\frac{c+3a}{2c}=\frac{ac+3c^2+ac+3a^2}{2ac}\)
\(=\frac{3\left(a^2+c^2\right)+2ac}{2ac}\ge\frac{3.2ac+2ac}{2ac}=\frac{8ac}{2ac}=4\)
Vậy \(P\ge4\) với mọi a,b,c thỏa mãn đề bài. Dấu bằng xảy ra khi a=b=c
Vậy GTNN của P là 4 khi a=b=c
Chúc bạn học tốt !!
DH
25 tháng 1 2020
\(2,\left\{{}\begin{matrix}x^3-2x^2y-15x=6y\left(2x-5-4y\right)\left(1\right)\\\frac{x^2}{8y}+\frac{2x}{3}=\sqrt{\frac{x^3}{3y}+\frac{x^2}{4}}-\frac{y}{2}\left(2\right)\end{matrix}\right.\)
\(\left(1\right)\Leftrightarrow\left(2y-x\right)\left(x^2-12y-15\right)=0\)\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}2y=x\\y=\frac{x^2-15}{12}\end{matrix}\right.\)
Ta xét các trường hợp sau:
Trường hợp 1:
\(y=\frac{x^2-15}{12}\) thay vào phương trình \(\left(2\right)\) ta được:
\(\frac{3x^2}{2\left(x^2-15\right)}+\frac{2x}{3}=\sqrt{\frac{4x^3}{x^2-15}+\frac{x^2}{4}}-\frac{x^2-15}{24}\)
\(\Leftrightarrow\frac{36x^2}{x^2-15}-12\sqrt{\frac{x^2}{x^2-15}\left(x^2+16x-15\right)}+\left(x^2+16x-15\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x^2+16x-15\ge0\\6\sqrt{\frac{x^2}{x^2-15}}=\sqrt{\left(x^2+16x-15\right)}\end{matrix}\right.\)\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x^2+16x-15\ge0\\36\frac{x^2}{x^2-15}=x^2+16x-15\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x^2+16x-15\ge0\\36x^2=\left(x^2-15\right)\left(x^2+16x-15\right)\left(3\right)\end{matrix}\right.\)
Ta xét phương trình \(\left(3\right):36x^2=\left(x^2-15\right)\left(x^2+16x-15\right)\)
Vì: \(x=0\) Không phải là nghiệm. Ta chia cả hai vế p.trình cho \(x^2\) ta được:
\(36=\left(x-\frac{15}{x}\right)\left(x+16-\frac{15}{x}\right)\)
Đặt: \(x-\frac{15}{x}=t\Rightarrow t^2+16t-36=0\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}t=2\\t=-18\end{matrix}\right.\)
+ Nếu như:
\(t=2\Leftrightarrow x-\frac{15}{x}=2\Leftrightarrow x^2-2x-15=0\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x=5\\x=-3\end{matrix}\right.\)\(\Leftrightarrow x=5\)
+ Nếu như:
\(t=-18\Leftrightarrow x-\frac{15}{x}=-18\Leftrightarrow x^2+18x-15=0\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x=-9-4\sqrt{6}\\x=-9+4\sqrt{6}\end{matrix}\right.\Leftrightarrow x=-9-4\sqrt{6}\)
Trường hợp 2:
\(x=2y\) thay vào p.trình \(\left(2\right)\) ta được:
\(\Leftrightarrow\frac{x^2}{4x}+\frac{2x}{3}=\sqrt{\frac{2x^3}{3x}+\frac{x^2}{4}}-\frac{x}{4}\Leftrightarrow\frac{7}{6}x=\sqrt{\frac{11x^2}{12}}\Leftrightarrow x=0\left(ktmđk\right)\)
Vậy nghiệm của hệ đã cho là: \(\left(x,y\right)=\left(5;\frac{5}{6}\right),\left(-9-4\sqrt{6};\frac{27+12\sqrt{6}}{2}\right)\)
25 tháng 1 2020
Năm mới chắc bị lag @@ tớ sửa luôn đề câu 3 nhé :v
3, \(\left\{{}\begin{matrix}8\left(x^2+y^2\right)+4xy+\frac{5}{\left(x+y\right)^2}=13\left(1\right)\\2xy+\frac{1}{x+y}=1\left(2\right)\end{matrix}\right.\)
\(\left(1\right)\Leftrightarrow8\left[\left(x+y\right)^2-2xy\right]+4xy+\frac{5}{\left(x+y\right)^2}=13\)
Đặt \(\left\{{}\begin{matrix}x+y=a\\xy=b\end{matrix}\right.\)
\(\left(1\right)\Leftrightarrow8\left(a^2-2b\right)+4b+\frac{5}{a^2}=13\)
\(\Leftrightarrow8a^2-12b+\frac{5}{a^2}=13\)
Ta cũng có \(\left(2\right)\Leftrightarrow2b+\frac{1}{a}=1\)
\(\Leftrightarrow2b=1-\frac{1}{a}\)
Thay vào (1) ta được :
\(8a^2+\frac{5}{a^2}-6\cdot\left(1-\frac{1}{a}\right)=13\)
\(\Leftrightarrow8a^2+\frac{5}{a^2}-6+\frac{6}{a}=13\)
\(\Leftrightarrow8a^2+\frac{5}{a^2}+\frac{6}{a}=19\)
Giải pt được \(a=1\)
Khi đó \(b=\frac{1-\frac{1}{1}}{2}=0\)
Ta có hệ :
\(\left\{{}\begin{matrix}x+y=1\\xy=0\end{matrix}\right.\)\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}\left\{{}\begin{matrix}x=0\\y=1\end{matrix}\right.\\\left\{{}\begin{matrix}x=1\\y=0\end{matrix}\right.\end{matrix}\right.\)
Vậy...
19 tháng 6 2016
ôi trờiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiii