K
Khách

Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.

7 tháng 9 2019


Goi I là trực tâm của  thì I thuộc CH và .    (1)


Điều kiện cần: Từ (1), kết hợp với  suy ra 


suy ra , mà  do đó     (2)


Từ (1) và (2) suy ra 


Vậy, nếu  thì 


Điều kiện đủ:   trên tia đối của tia MQ lấy điểm R sao cho  thì BRCQ là hình bình hành, suy ra ,


kết hợp với  suy ra          (3)


Mặt khác, ta có  nên . Kết hợp với (1) suy ra     (4)


Từ (3) và (4) suy ra PRBI là hbh nên . Mà  do ó  suy ra CQIP là hbh, ta có 

Vậy, nếu  thì 

Kết luận:  khi và chỉ khi . => DPCM

7 tháng 9 2019

A B C K L H M P Q J A B C H P Q K L M S T

+) Chứng minh HP = HQ \(\Rightarrow\) MP = MQ:

Gọi J là đối xứng của C qua H. Có ngay \(\Delta\)CQH = \(\Delta\)JPH (c.g.c) => JP // CQ vuông góc BH

Từ đó P là trực tâm của \(\Delta\)BJH. Đồng thời MH là đường trung bình trong \(\Delta\)BCJ (IH // BJ)

Do vậy MH vuông góc HP, mà H là trung điểm PQ nên HM là trung trực của PQ hay MP = MQ (*)

+) Chứng minh MP = MQ \(\Rightarrow\) HP = HQ:

Bổ đề: Xét tam giác ABC cân tại A có điểm M nằm trên BC. Khi đó:

MB.MC = AB2 - AM2 nếu M thuộc đoạn BC; MB.MC = AM2 - AB2 nếu M nằm ngoài đoạn BC.

Giải bài toán: Gọi S,T thứ tự là hình chiếu của B,C trên PQ. Dễ chứng minh \(\Delta\)SMT cân tại M

Mà P,Q thuộc ST; \(\Delta\)PMQ cân tại M nên \(\Delta\)MPS = \(\Delta\)MQT (c.g.c) => PS = QT (1)

Dễ có HP.PS = PB.PL; HQ.QT = QC.QK  (2). Áp dụng Bổ đề ta có PB.PL = MB2 - MP2 = MC2 - MQ2 = QC.QK  (3)

Từ (1),(2) và (3) suy ra HP = HQ (**)

+) Từ (*) và (**) suy ra ĐPCM.

13 tháng 9 2015

Gọi giao điểm của AH và BC là I
Từ C kẻ CN // PQ (NAB), 
Tứ giác CNPQ là hình thang, có H là trung điểm PQ, hai cạnh bên NP và CQ đồng quy tại A nên K là trung điểm CN MK là đường trung bình của BCN 
MK // CN MK // AB (1)
H là trực tâm của ABC nên CHA B (2)
Từ (1) và (2) suy ra MK CH MK là đường cao củaCHK (3)
Từ AH BC MCHK MI là đường cao của CHK (4)
Từ (3) và (4) suy ra M là trực tâm của CHKMHCN MHPQ 
MPQ có MH vừa là đường trung tuyến vừa là đường cao nên cân tại M

5 tháng 5 2021

Tham khảo nhé