Cho ba số thực dương a,b,c. CMR:
\(\frac{a^2}{b+3c}+\frac{b^2}{c+3a}+\frac{c^2}{a+3b}\ge\frac{a+b+c}{4}\)
Đẳng thức xảy ra khi nào?
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
C
21 tháng 9 2019
\(\frac{a+3c}{a+b}+\frac{a+3b}{a+c}+\frac{2a}{b+c}\)
\(=\frac{a+c}{a+b}+\frac{2c}{a+b}+\frac{a+b}{a+c}+\frac{2b}{a+c}+\frac{2a}{b+c}\)
\(=2\left(\frac{c}{a+b}+\frac{b}{a+c}+\frac{a}{b+c}\right)+\left(\frac{a+c}{a+b}+\frac{a+b}{a+c}\right)\)
Áp dụng BĐT Cauchy - Schwar:
\(\frac{a+c}{a+b}+\frac{a+b}{a+c}\ge2\sqrt{\frac{\left(a+c\right)\left(a+b\right)}{\left(a+b\right)\left(a+c\right)}}=2\)(1)
Áp dụng BĐT Nesbit:
\(\frac{c}{a+b}+\frac{b}{a+c}+\frac{a}{b+c}\ge\frac{3}{2}\)
\(\Leftrightarrow2\left(\frac{c}{a+b}+\frac{b}{a+c}+\frac{a}{b+c}\right)\ge3\)(2)
Từ (1) và (2) suy ra \(2\left(\frac{c}{a+b}+\frac{b}{a+c}+\frac{a}{b+c}\right)+\left(\frac{a+c}{a+b}+\frac{a+b}{a+c}\right)\ge5\)
hay \(\frac{a+3c}{a+b}+\frac{a+3b}{a+c}+\frac{2a}{b+c}\ge\left(đpcm\right)\)
24 tháng 6 2018
Ta có: \(\frac{a+3c}{a+b}+\frac{a+3b}{a+c}+\frac{2a}{b+c}-5\ge0\)
\(\Leftrightarrow\frac{a+3c}{a+b}-2+\frac{a+3b}{a+c}-2+\frac{2a}{b+c}-1\ge0\)
Giải bất phương trình
Cuối cùng ta được: \(\left(c-a\right)^2\left(\frac{1}{\left(a+b\right)\left(b+c\right)}\right)+2\left(b-c\right)^2\left(\frac{1}{\left(a+c\right)\left(a+b\right)}\right)+\left(a-b\right)^2\) \(\left(\frac{1}{\left(a+c\right)\left(b+c\right)}\right)\ge0\)
BĐT đúng <=> a = b = c
TN
10 tháng 9 2017
Sang học 24 tìm ai tên Perfect Blue nhé t làm bên đó rồi đưa link thì lỗi ==" , tìm tên đăng nhập springtime ấy
TN
30 tháng 12 2017
\(BDT\Leftrightarrow\frac{a+3c}{a+b}-2+\frac{a+3b}{a+c}-2+\frac{2a}{b+c}-1\ge0\)
\(\Leftrightarrow\frac{c-a}{a+b}+\frac{2\left(c-b\right)}{a+b}+\frac{b-a}{a+c}+\frac{2\left(b-c\right)}{a+c}+\frac{a-b}{b+c}+\frac{a-c}{b+c}\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(c-a\right)^2\frac{1}{\left(a+b\right)\left(b+c\right)}+2\left(b-c\right)^2\frac{1}{\left(a+c\right)\left(a+b\right)}+\left(a-b\right)^2\frac{1}{\left(a+c\right)\left(b+c\right)}\ge0\)
BĐT cuối đúng nên ta có ĐPCM
Xảy ra khi \(a=b=c\)
TN
31 tháng 12 2017
Tại t nháp luôn vào chỗ để gửi trả lời nên khi gửi ko nhìn lại nó hơi tắt. Hết dòng thứ 2, bắt đầu dòng thứ 3:
\(\Leftrightarrow\left(\frac{c-a}{a+b}+\frac{a-c}{b+c}\right)+\left(\frac{2\left(b-c\right)}{a+c}+\frac{2\left(c-b\right)}{a+b}\right)+\left(\frac{a-b}{b+c}+\frac{b-a}{a+c}\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(c-a\right)\left(\frac{1}{a+b}-\frac{1}{b+c}\right)+2\left(b-c\right)\left(\frac{1}{a+c}-\frac{1}{a+b}\right)+\left(a-b\right)\left(\frac{1}{b+c}-\frac{1}{a+c}\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow....\) the last ineq in here !
G
18 tháng 2 2019
Mk nghĩ chỗ kia là cộng :3
\(\frac{a+3c}{a+b}+\frac{a+3b}{a+c}+\frac{2a}{b+c}\)
\(=\frac{a+c+2c}{a+b}+\frac{a+b+2b}{a+c}+\frac{2a}{b+c}\)
\(=\frac{a+c}{a+b}+\frac{2c}{a+b}+\frac{a+b}{a+c}+\frac{2b}{a+c}+\frac{2a}{b+c}\)
\(=2\left(\frac{c}{a+b}+\frac{b}{a+c}+\frac{a}{b+c}\right)+\left(\frac{a+c}{a+b}+\frac{a+b}{a+c}\right)\)
Áp dụng bđt Cauchy: \(\frac{a+c}{a+b}+\frac{a+b}{a+c}\ge2\sqrt{\frac{\left(a+c\right)\left(a+b\right)}{\left(a+b\right)\left(a+c\right)}}=2\)
Áp dụng bđt Nesbit: \(\frac{a}{b+c}+\frac{b}{a+c}+\frac{c}{a+b}\ge\frac{3}{2}\Leftrightarrow2\left(\frac{a}{b+c}+\frac{b}{a+c}+\frac{c}{a+b}\right)\ge3\)
Cộng theo vế suy ra đpcm. "=" khi a=b=c
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
19 tháng 4 2020
\(\frac{a^2}{\sqrt{3a^2+8b^2+12ab+2ab}}\ge\frac{a^2}{\sqrt{3a^2+9b^2+12ab+a^2+b^2}}=\frac{a^2}{\sqrt{\left(2a+3b\right)^2}}=\frac{a^2}{2a+3b}\)
\(\Rightarrow VT\ge\frac{a^2}{2a+3b}+\frac{b^2}{2b+3c}+\frac{c^2}{2c+3a}\ge\frac{\left(a+b+c\right)^2}{5\left(a+b+c\right)}=\frac{1}{5}\left(a+b+c\right)\)
Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c\)
8 tháng 12 2017
Chứng minh BĐT phụ: \(\frac{m^2}{x}+\frac{n^2}{y}\ge\frac{\left(m+n\right)^2}{x+y}\) với \(x;y>0\) (*)
Ta có: \(3a^2+8b^2+14ab\)
\(=\left(3a^2+12ab\right)+\left(2ab+8b^2\right)\)
\(=3a\left(a+4b\right)+2b\left(a+4b\right)\)
\(=\left(3a+2b\right)\left(a+4b\right)\)
\(\Rightarrow\sqrt{3a^2+8b^2+14ab}=\sqrt{\left(3a+2b\right)\left(a+4b\right)}\le\frac{3a+2b+a+4b}{2}=2a+3b\)
\(\Rightarrow\frac{a^2}{\sqrt{3a^2+8b^2+14ab}}\ge\frac{a^2}{2a+3b}\)
Tương tự, ta có: \(\frac{b^2}{\sqrt{3b^2+8c^2+14bc}}\ge\frac{b^2}{2b+3c}\)
\(\frac{c^2}{\sqrt{3c^2+8a^2+14ca}}\ge\frac{c^2}{2c+3a}\)
Áp dụng (*), ta có:
\(VT\ge\frac{a^2}{2a+3b}+\frac{b^2}{2b+3c}+\frac{c^2}{2c+3a}\ge\frac{\left(a+b+c\right)^2}{2a+3b+2b+3c+2c+3a}=\frac{\left(a+b+c\right)^2}{5\left(a+b+c\right)}\)
\(=\frac{1}{5}\left(a+b+c\right)\)
Vậy \(\frac{a^2}{\sqrt{3a^2+8b^2+14ab}}+\frac{b^2}{\sqrt{3b^2+8c^2+14bc}}+\frac{c^2}{\sqrt{3c^2+8a^2+14ca}}\ge\frac{1}{5}\left(a+b+c\right)\)
TN
20 tháng 12 2016
Ta có:
\(\sqrt{3a^2+8b^2+14ab}=\sqrt{\left(3a+2b\right)\left(a+4b\right)}\le2a+3b\)
Khi đó \(\frac{a^2}{\sqrt{3a^2+8b^2+14ab}}\ge\frac{a^2}{2a+3b}\), tương tự ta có:
\(\frac{a^2}{\sqrt{3a^2+8b^2+14ab}}+\frac{b^2}{\sqrt{3b^2+8c^2+14bc}}+\frac{c^2}{\sqrt{3c^2+8a^2+14ca}}\)
\(\ge\frac{a^2}{2a+3b}+\frac{b^2}{2b+3c}+\frac{c^2}{2c+3a}\)\(\ge\frac{\left(a+b+c\right)^2}{5\left(a+b+c\right)}=\frac{a+b+c}{5}\)
KN
12 tháng 6 2020
Vì abc = 1 nên \(\frac{a}{ab+a+1}+\frac{b}{bc+b+1}+\frac{c}{ca+c+1}\)\(=\frac{ac}{abc+ac+c}+\frac{abc}{abc^2+abc+ac}+\frac{c}{ca+c+1}\)
\(=\frac{ac}{ac+c+1}+\frac{1}{ac+c+1}+\frac{c}{ac+c+1}=\frac{ac+c+1}{ac+c+1}=1\)(*)
Áp dụng bất đẳng thức Bunyakovsky dạng phân thức và áp dụng đẳng thức (*), ta được:
\(\frac{a}{\left(ab+a+1\right)^2}+\frac{b}{\left(bc+b+1\right)^2}+\frac{c}{\left(ca+c+1\right)^2}\)\(=\frac{\left(\frac{a}{ab+a+1}\right)^2}{a}+\frac{\left(\frac{b}{bc+b+1}\right)^2}{b}+\frac{\left(\frac{c}{ca+c+1}\right)^2}{c}\)
\(\ge\frac{\left(\frac{a}{ab+a+1}+\frac{b}{bc+b+1}+\frac{c}{ca+c+1}\right)^2}{a+b+c}=\frac{1}{a+b+c}\)
Đẳng thức xảy ra khi a = b = c = 1
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz ta có :
\(VT\ge\frac{\left(a+b+c\right)^2}{4\left(a+b+c\right)}=\frac{a+b+c}{4}\)
Dấu đẳng thức xảy ra \(\Leftrightarrow a=b=c\)
BĐT mà bạn áp dụng chứng minh như thế nào vậy :D