Question

[Nguyễn Đăng Quỳnh]

Giúp mình chứng minh đường thẳng Ơ-le bằng vecto vơi ?

Answer 1

[Incursion_03]

GỌi H,G,O là trực tâm , trọng tâm và tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC , cần chứng minh H,G,O

Vẽ hình bình hành BHCK

\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}\vec{HB}=\vec{CK}\\KC//BH\end{cases}}\)

\(\Rightarrow KC\perp AC\)

Xét tam giác ACK có \(\widehat{ACK}=90^o\Rightarrow\overline{A,O,K}\)(Do là đường kính)

Có \(\vec{HA}+\vec{HB}+\vec{HC}=2\vec{HO}\)

\(\Leftrightarrow3\vec{HG}+\vec{GA}+\vec{GB}+\vec{GC}=2\vec{HO}\)

\(\Leftrightarrow3\vec{HG}+\vec{0}=2\vec{HO}\)(Hệ thức trọng tâm)

\(\Rightarrow\vec{HG}=\frac{2}{3}\vec{HO}\)

\(\Rightarrow\overline{H,G,O}\left(Dpcm\right)\)

Answer 2

[Kiệt Nguyễn]

∆ABC có H là trực tâm, G là trọng tâm, O là giao điểm của 3 đường trung trực.

Gọi M là trung điểm của BC. Lấy D đối xứng với A qua O

Ta có: OA = OC (tính chất của điểm thuộc đường trung trực)

Mà OA = OD (theo cách chọn điểm phụ) nên OA = OC = OD

Do đó ∆ACD vuông tại C \(\Rightarrow CD\perp AC\)

Mà  \(\Rightarrow BH\perp AC\left(gt\right)\Rightarrow BH//CD\)(1)

Chứng minh tương tự: \(CH//BD\)(2)

Từ (1) và (2) suy ra BHCD là hình bình hành có M là trung điểm của BC nên M cũng là trung điểm của HD (cũng suy ra được H, M, D thẳng hàng)

∆ADH có AM là trung tuyến và \(AG=\frac{2}{3}AM\left(gt\right)\)nên G là trọng tâm

\(\Rightarrow\)Trung tuyến thứ hai là HO đi qua G

Vậy H, G, O thẳng hàng