cho a,b,c≥0 với a+b+c=3 vàP=a^2/(a+2b^3)+b^2/(b+2c^3)+c^2/(c+a^3) tìm min P.
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
BD
0
DA
1
11 tháng 10 2020
Ta sẽ sử dụng phương pháp Cauchy ngược dấu để CM bài toán này
Xét \(\frac{a^2}{a+2b^3}=\frac{a\left(a+2b^3\right)-2ab^3}{a+2b^3}=a-\frac{2ab^3}{a+2b^3}\)
\(=a-\frac{2ab^3}{a+b^3+b^3}\ge a-\frac{2ab^3}{3\sqrt[3]{ab^6}}=a-\frac{2}{3}\cdot\frac{ab}{\sqrt[3]{a}}\)
\(=a-\frac{2}{3}\cdot\left(b\sqrt[3]{a^2}\right)=a-\frac{2}{3}\cdot b\cdot\sqrt[3]{a\cdot a\cdot1}\)
\(\ge a-\frac{2}{9}\cdot b\cdot\left(a+a+1\right)=a-\frac{2b}{9}\left(2a+1\right)=a-\frac{2}{9}\left(2ab+b\right)\)
Tương tự ta biến đổi với các phân thức còn lại:
\(\frac{b^2}{b+2c^3}\ge b-\frac{2}{9}\left(2bc+c\right)\) và \(\frac{c^2}{c+2a^3}=c-\frac{2}{9}\left(2ca+a\right)\)
Cộng vế 3 BĐT trên lại ta được: \(P\ge\left(a+b+c\right)-\frac{2}{9}\left[2\left(ab+bc+ca\right)+\left(a+b+c\right)\right]\)
\(\ge3-\frac{2}{9}\left[2\cdot\frac{\left(a+b+c\right)^2}{3}+3\right]=3-\frac{2}{9}\left(2\cdot3+3\right)=1\)
Dấu "=" xảy ra khi: \(a=b=c=1\)
Vậy Min(P) = 1 khi a = b = c = 1
24 tháng 8 2021
1/ Áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz dạng Engel :
\(A\ge\frac{\left(a+b+c\right)^2}{3\left(a+b+c\right)}=\frac{a+b+c}{3}=\frac{3}{3}=1\)
Dấu "=" xảy ra <=> a=b=c=1
NT
0
TG
0
CD
1
DD
Đoàn Đức Hà
Giáo viên
3 tháng 5 2022
Ta có: \(1=a^2+b^2+c^2\ge ab+bc+ca\).
\(P=\dfrac{a^3}{b+2c}+\dfrac{b^3}{c+2a}+\dfrac{c^3}{a+2b}=\dfrac{a^4}{ab+2ca}+\dfrac{b^4}{bc+2ab}+\dfrac{c^4}{ca+2bc}\)
\(\ge\dfrac{\left(a^2+b^2+c^2\right)^2}{3\left(ab+bc+ca\right)}=\dfrac{1}{3\left(ab+bc+ca\right)}\ge\dfrac{1}{3}\)
Dấu \(=\) xảy ra khi \(a=b=c=\dfrac{1}{\sqrt{3}}\).
AH
Akai Haruma
Giáo viên
31 tháng 12 2019
Lời giải:
Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz và AM-GM:
\(A=\frac{a^4}{a^2+2ab}+\frac{b^4}{ab+2b^2}+\frac{b^4}{b^2+2bc}+\frac{c^4}{bc+2c^2}+\frac{c^4}{c^2+2ac}+\frac{a^4}{ca+2a^2}\)
\(\geq \frac{(a^2+b^2+b^2+c^2+c^2+a^2)^2}{3(a^2+b^2+c^2+ab+bc+ac)}=\frac{4(a^2+b^2+c^2)^2}{3(a^2+b^2+c^2+ab+bc+ac)}\geq \frac{4(a^2+b^2+c^2)^2}{3(a^2+b^2+c^2+a^2+b^2+c^2)}\)
hay \(A\geq \frac{2}{3}(a^2+b^2+c^2)=2\)
Vậy $A_{\min}=2$. Dấu "=" xảy ra khi $a=b=c=1$