Cho 0<a≤b≤c và a>0,b>0,c>0
c/m \(\frac{c}{a}\)+\(\frac{b}{c}\)≥\(\frac{b}{a}\)+\(\frac{a}{b}\)
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
HH
1
MT
16 tháng 7 2016
a+b+c=0
=>a+b=-c;b+c=-a;a+c=-b
Thay a+b=-c;b+c=-a;a+c=-b là M ta được:\(M=\frac{-c}{c}+\frac{-a}{a}+\frac{-b}{b}=-1-1-1=-3\)
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
11 tháng 2 2020
\(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\ge\frac{4}{a+b}\Leftrightarrow\frac{a+b}{ab}\ge\frac{4}{a+b}\)
\(\Leftrightarrow\left(a+b\right)^2\ge4ab\Leftrightarrow\left(a-b\right)^2\ge0\) (luôn đúng)
a/ \(VT=\frac{1}{a+a+b+c}+\frac{1}{a+b+b+c}+\frac{1}{a+b+c+c}\le\frac{1}{16}\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{b}+\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}+\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}+\frac{1}{c}\right)\)
\(\Rightarrow VT\le\frac{1}{4}\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)=1\) (đpcm)
Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c=\frac{3}{4}\)
b/ \(VT\le\frac{ab}{4}\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\right)+\frac{bc}{4}\left(\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)+\frac{ca}{4}\left(\frac{1}{c}+\frac{1}{a}\right)\)
\(VT\le\frac{a}{4}+\frac{b}{4}+\frac{b}{4}+\frac{c}{4}+\frac{c}{4}+\frac{a}{4}=\frac{a+b+c}{2}\)
Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c\)
DH
1 tháng 12 2019
Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta có:
\(\frac{a+b}{c}=\frac{b+c}{a}=\frac{c+a}{b}=\frac{a+b+b+c+c+a}{c+a+b}=2\)
Vậy ta có: \(a+b=2c;b+c=2a;c+a=2b\)
Thay vào biểu thức ta có:
\(A=\frac{a}{2a}+\frac{2c}{c}\)
\(=2+2=4\)
Vậy \(A=4\)
DH
1 tháng 12 2019
Cái này mới đúng nè:
Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau, ta có:
\(\frac{a+b}{c}=\frac{b+c}{a}=\frac{c+a}{b}=\frac{a+b+b+c+c+a}{c+a+b}=2\)
\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}\frac{a+b}{c}=2\\\frac{a}{b+c}=\frac{1}{2}\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow A=\frac{1}{2}+2=\frac{5}{2}\)
VN
2
10 tháng 7 2016
a + b + c = 0 => a + b = -c ; b + c = -a ; a + c = -b
Do đó \(M=\frac{-c}{c}+\frac{-a}{a}+\frac{-b}{b}=-1+\left(-1\right)+\left(-1\right)=-3\)
AH
Akai Haruma
Giáo viên
29 tháng 5 2020
Lời giải:
Nên bổ sung thêm điều kiện $a,b,c$ đôi một phân biệt. Đặt biểu thức cần chứng minh bằng $0$ là $P$
Ta có:
\(\frac{a}{b-c}+\frac{b}{c-a}+\frac{c}{a-b}=0\)
\(\Rightarrow \left(\frac{1}{b-c}+\frac{1}{c-a}+\frac{1}{a-b}\right)\left(\frac{a}{b-c}+\frac{b}{c-a}+\frac{c}{a-b}\right)=0\)
\(\Leftrightarrow \frac{a}{(b-c)^2}+\frac{b}{(c-a)^2}+\frac{c}{(a-b)^2}+\frac{b}{(b-c)(c-a)}+\frac{c}{(b-c)(a-b)}+\frac{a}{(c-a)(b-c)}+\frac{c}{(c-a)(a-b)}+\frac{a}{(a-b)(b-c)}+\frac{b}{(a-b)(c-a)}=0\)
\(\Leftrightarrow P+\frac{b(a-b)+c(c-a)+a(a-b)+c(b-c)+a(c-a)+b(b-c)}{(a-b)(b-c)(c-a)}=0\)
\(\Leftrightarrow P+\frac{0}{(a-b)(b-c)(c-a)}=0\Rightarrow P=0\) (đpcm)
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
22 tháng 6 2019
\(\sqrt{\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}}=\sqrt{\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}+0.\frac{2}{abc}}=\sqrt{\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}+\left(a+b+c\right).\frac{2}{abc}}\)
\(=\sqrt{\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}+\frac{2}{ab}+\frac{2}{ac}+\frac{2}{bc}}=\sqrt{\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)^2}=\left|\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right|\)
9 tháng 6 2015
cái này hình như sai đề bạn ạ. vì : a,b,c >0 => a+b , b+c, c+a >0
=> \(\frac{a}{a+b}+\frac{b}{b+c}+\frac{c}{c+a}>0\)
với \(A>0\) ta luôn có: \(A>\sqrt{A}\) như 2 > căn 2 chẳng hạn
=> \(\frac{a}{a+b}>\sqrt{\frac{a}{a+b}}\) hay \(\frac{a}{a+b}+\frac{b}{b+c}+\frac{c}{c+a}>\sqrt{\frac{a}{b+c}}+\sqrt{\frac{b}{c+a}}+\sqrt{\frac{c}{a+b}}\)
5 tháng 12 2020
Ta chứng minh bất đẳng thức phụ:
\(\frac{b+c}{a}+\frac{c+a}{b}+\frac{a+b}{c}\ge\frac{4a}{b+c}+\frac{4b}{c+a}+\frac{4c}{a+b}\). (*)
Thật vậy, áp dụng bất đẳng thức \(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\ge\frac{4}{x+y}\) với x, y > 0 ta có:
\(\frac{4a}{b+c}+\frac{4b}{c+a}+\frac{4c}{a+b}\le a\left(\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)+b\left(\frac{1}{c}+\frac{1}{a}\right)+c\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\right)=\frac{b+c}{a}+\frac{c+a}{b}+\frac{a+b}{c}\).
Do đó (*) đúng.
Suy ra: \(A\ge80\left(\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}+\frac{c}{a+b}\right)-17\left(\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}+\frac{c}{a+b}\right)=63\left(\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}+\frac{c}{a+b}\right)\).
Áp dụng bất đẳng thức \(\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}+\frac{c}{a+b}\ge\frac{3}{2}\) (bất đẳng thức Nesbitt) ta có \(A\ge\frac{189}{2}\).
Đẳng thức xảy ra khi a = b = c.
Vậy Min A = \(\frac{189}{2}\) khi a = b = c.