Cho tam giác ABC, điểm M nằm trong tam giác sao cho \(\widehat{AMB}-\widehat{C}=\widehat{AMC}-\widehat{B}\). CM : AM và các đường phân giác các góc ABM, ACM đồng quy.
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Ta có:
\(\widehat {AMB} + \widehat {AMC} = {180^o}\)( 2 góc kề bù)
\(\begin{array}{l} \Rightarrow \widehat {AMB} + {80^o} = {180^o}\\ \Rightarrow \widehat {AMB} = {100^o}\end{array}\)
Áp dụng định lí tổng ba góc trong một tam giác:
+) Trong tam giác AMB có:
\(\begin{array}{l}\widehat {ABC} + \widehat {MAB} + \widehat {AMB} = {180^O}\\ \Rightarrow \widehat {ABC} + {20^o} + {100^o} = {180^O}\\ \Rightarrow \widehat {ABC} = {60^o}\end{array}\)
+) Trong tam giác ABC có:
\(\begin{array}{l}\widehat {BAC} + \widehat {ACB} + \widehat {CBA} = {180^o}\\ \Rightarrow \widehat {BAC} + {60^o} + {60^o} = {180^o}\\ \Rightarrow \widehat {BAC} = {60^o}\end{array}\)
a: Xét ΔABM và ΔACM có
AB=AC
\(\widehat{BAM}=\widehat{CAM}\)
AM chung
Do đó: ΔABM=ΔACM
Trên nửa mặt phẳng bờ AM không chứa điểm B, dựng \(\Delta\)AMP sao cho \(\Delta\)AMP ~ \(\Delta\)ABC
Định nghĩa tương tự với điểm N. Gọi phân giác của ^ABM cắt AM tại I.
Từ \(\Delta\)AMP ~ \(\Delta\)ABC ta có tỉ số \(\frac{AM}{AB}=\frac{AP}{AC}\)hay \(\frac{AP}{AM}=\frac{AC}{AB}\)
Đồng thời ^MAP = ^BAC => ^PAC = ^MAB. Từ đó \(\Delta\)APC ~ \(\Delta\)AMB (c.g.c)
Suy ra ^APC = ^AMB => ^APM + ^MPC = ^AMB => ^MPC = ^AMB - ^APM = ^AMB - ^ACB (1)
Lập luận tương tự ta có ^MNB = ^AMC - ^ANM = ^AMC - ^ABC (2)
Từ (1) và (2), kết hợp với giả thiết ^AMB - ^C = ^AMC - ^B suy ra ^MPC = ^MNB
Ta lại có ^PMC = ^AMC - ^AMP = ^AMC - ^ABC = ^AMB - ^ACB = ^AMB - ^AMN = ^NMB
Do vậy \(\Delta\)BNM ~ \(\Delta\)CPM (g.g) => \(\frac{BM}{CM}=\frac{MN}{MP}\)
Mặt khác \(\Delta\)ANM ~ \(\Delta\)AMP (~\(\Delta\)ABC) => \(\frac{MN}{PM}=\frac{AN}{AM}=\frac{AB}{AC}\)
Từ đây \(\frac{BM}{CM}=\frac{AB}{AC}\) hay \(\frac{BA}{BM}=\frac{CA}{CM}\). Theo ĐL đường phân giác trong tam giác có:
\(\frac{BA}{BM}=\frac{IA}{IM}\). Do đó \(\frac{CA}{CM}=\frac{IA}{IM}\)=> CI là phân giác của ^ACM
Điều này tức là phân giác của ^ABM và ^ACM cắt nhau tại điểm I nằm trên AM => ĐPCM.
Học thêm toán hình tại đây nè..