Question

[Phạm Cao Sơn]

Cho tam giác ABC. Gọi h_a, h_b, h_c là các đường cao và r_a, r_b, r_c, là các bán kính của các đường tròn bàng tiếp các góc A, B, C của tam giác ABC. r là bán kính đường tròn nội tiếp. CMR:

a)\(\frac{1}{r}=\frac{1}{h_a}+\frac{1}{h_b}+\frac{1}{h_c}\)

b) \(\frac{1}{r}=\frac{1}{r_a}+\frac{1}{r_b}+\frac{1}{r_c}\)

Answer 1

[Witch Rose]

Gọi O là tâm đường tròn bàng tiếp trong góc A.Ta có:

\(S_{OAC}+S_{OAB}-S_{OBC}=S_{ABC}\Rightarrow b.r_a+c.r_a-a.r_a=2S\Rightarrow S=\frac{r_a\left(b+c-a\right)}{2}=r_a\left(p-a\right).\)(p là nửa chu vi tam giác ABC)

Cm tương tự: \(S=r_a\left(p-a\right)=r_b\left(p-b\right)=r_c\left(p-c\right)=p.r\)

\(\Rightarrow\frac{S}{r_a}+\frac{S}{r_b}+\frac{S}{r_c}=p-a+p-b+p-c=3p-2p=p=\frac{S}{r}\Rightarrow\frac{1}{r}=\frac{1}{r_a}+\frac{1}{r_b}+\frac{1}{r_c}\)(đpcm)

Answer 2

[Nguyễn Linh Chi]

Đặt BC=a, AC=b, AB=c

 \(P=\frac{a+b+c}{2}\)

S là diện tích của tam giác ABC

Ta có công thức tính bán kính của các đường tròn bàng tiếp:

Tại góc A: \(r_a=\frac{S}{P-a}\)

Tại góc B: \(r_b=\frac{S}{P-b}\)

Tại góc C: \(r_c=\frac{S}{P-c}\)

Công thức tính bán kính đường tròn nội tiếp tam giác ABC:

\(r=\frac{S}{P}\)

=> \(\frac{1}{r_a}+\frac{1}{r_b}+\frac{1}{r_c}=\frac{P-a}{S}+\frac{P-b}{S}+\frac{P-c}{S}=\frac{3P}{S}-\frac{a+b+c}{S}\)

\(=\frac{3P}{S}-\frac{2P}{S}=\frac{P}{S}=\frac{1}{r}\)