Question

[Trần Thanh Phương]

Có một số bài bất đẳng thức, bạn nào làm được câu nào cứ làm nhé :)

Câu 1: Cho \(x,y,z>0\)thỏa mãn \(xyz=1\)

Chứng minh rằng : \(\frac{1}{x^2+2y^2+3}+\frac{1}{y^2+2z^2+3}+\frac{1}{z^2+2x^2+3}\le\frac{1}{2}\)

Câu 2: Cho \(a,b,c>0\). Tìm min \(P=\frac{a+3c}{a+2b+c}+\frac{4b}{a+b+2c}-\frac{8c}{a+b+3c}\)

Cây 3: Cho \(a,b,c>-1\). Chứng minh rằng :

\(\frac{1+a^2}{1+b+c^2}+\frac{1+b^2}{1+c+a^2}+\frac{1+c^2}{1+a+b^2}\ge2\)

Answer 1

[Lightning Farron]

bạn phá đảo BDT rồi làm làm gì nữa nhường cho người khác làm nữa chứ :v

Answer 2

[Akai Haruma]

Câu 1:

Áp dụng BĐT Cauchy ta có:

\(P=\frac{1}{x^2+2y^2+3}+\frac{1}{y^2+2z^2+3}+\frac{1}{z^2+2x^2+3}=\frac{1}{(x^2+y^2)+(y^2+1)+2}+\frac{1}{(y^2+z^2)+(z^2+1)+2}+\frac{1}{(z^2+x^2)+(x^2+1)+2}\)

\(\leq \frac{1}{2xy+2y+2}+\frac{1}{2yz+2z+2}+\frac{1}{2zx+2x+2}\)

hay \(P\leq \frac{1}{2}\left(\frac{1}{xy+y+1}+\frac{1}{yz+z+1}+\frac{1}{zx+x+1}\right)(1)\)

Do $xyz=1$ nên:

\(\frac{1}{xy+y+1}+\frac{1}{yz+z+1}+\frac{1}{zx+x+1}=\frac{1}{xy+y+1}+\frac{xy}{xy.yz+xyz+xy}+\frac{y}{yzx+yx+y}\)

\(=\frac{1}{xy+y+1}+\frac{xy}{y+1+xy}+\frac{y}{1+yx+y}=\frac{1+xy+y}{1+xy+y}=1(2)\)

Từ \((1);(2)\Rightarrow P\leq \frac{1}{2}.1=\frac{1}{2}\) (đpcm)

Dấu "=" xảy ra khi $x=y=z=1$