Question

[Play Again]

a, b, c, d \(\in\)\(ℕ^∗\)thỏa mãn \(\frac{a}{b}\)<\(\frac{c}{d}\).

CMR \(\frac{2018a+c}{2018b+d}\)<\(\frac{c}{d}\)

Answer 1

[ﾟ°☆Morgana ☆°ﾟ ( TCNTT )]

a) Ta có:

a−b=c+d

⇒a−b−c−d=0

⇒2a(a−b−c−d)=0

⇒2a2−2ab−2ac−2ad=0

Do đó:

a2+b2+c2+d2

=a2+b2+c2+d2+2a2−2ab−2ac−2ad

=(a2−2ab+b2)+(a2−2ac+c2)+(a2−2ad+d2)

=(a−b)2+(a−c)2+(a−d)2

Vậy với các số nguyên a, b, c, d thỏa mãn a - b = c + d thì a2 + b2 + c2 + d2 luôn là tổng của ba số chính phương

b) Ta có:

a+b+c+d=0

⇒a+b+c=−d

⇒a2+ab+ac=−da

⇒bc−da=a2+ab+ac+bc

⇒bc−da=a(a+b)+c(a+b)

⇒bc−da=(a+b)(a+c)(1)

Ta lại có:

a+b+c+d=0

⇒a+b+c=−d

⇒ac+bc+c2=−dc

⇒ab−cd=ac+bc+c2+ab

⇒ab−cd=c(a+c)+b(a+c)

⇒ab−cd=(a+c)(b+c)(2)

Ta lại có:

a+b+c+d=0

⇒a+b+c=−d

⇒ab+b2+bc=−db

⇒ca−db=ca+ab+b2+bc

⇒ca−db=a(b+c)+b(b+c)

⇒ca−db=(b+c)(a+b)(3)

Thay (1) , (2) và (3) vào biểu thức ( ab - cd )( bc - da )( ca - db ) ta được:

(ab−cd)(bc−da)(ca−db)

=(a+c)(b+c)(a+b)(a+c)(a+b)(b+c)

=(a+c)2.(b+c)2.(a+b)2

=[(a+c)(b+c)(a+b)]2

Vậy với các số nguyên a, b, c, d thỏa mãn a + b + c + d = 0 thì ( ab - cd )( bc - da )( ca - db ) là số chính phương