Cho x,y,z>0 và xyz=1. cmr: x^2/(1+y) + y^2/(1+z) + z^2/(1+x) >= 3/2.?
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
HN
Cho x, y, z > 0 và xyz=1. CMR :
\(\dfrac{x^2}{1+y}+\dfrac{y^2}{1+z}+\dfrac{z^2}{1+z}\ge\dfrac{3}{2}\)
1
MH
26 tháng 4 2023
Đề sai nhé, \(\dfrac{z^2}{x+1}\) mới đúng nha
\(\dfrac{x^2}{y+1}+\dfrac{y^2}{z+1}+\dfrac{z^2}{x+1}\ge\dfrac{\left(x+y+z\right)^2}{x+y+z+3}\left(\text{Svácxơ}\right)\)
\(\ge\dfrac{\left(x+y+z\right)^2}{2\left(x+y+z\right)}=\dfrac{x+y+z}{2}\ge\dfrac{3}{2}\)
Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow x=y=z=1\)
Ta có: \(x+y+z\ge3\sqrt[3]{xyz}=3\)
\(\Rightarrow x+y+z+3\le2\left(x+y+z\right)\)
U
1
JG
0
BH
0
BL
0
2 tháng 12 2019
Ta có:\(\frac{4+4\sqrt{1+x^2}}{4x}\le\frac{4+5+x^2}{4x}=\)\(\frac{x^2+9}{4x}\)Tương tự ta đc P\(\le\frac{x+y+z}{4}+\frac{9}{4}\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\right)\)
\(=\frac{1}{4}\left(x+y+z\right)+\frac{9}{4}\left(\frac{xy+yz+zx}{xyz}\right)\)\(\le\frac{1}{4}\left(x+y+z\right)+\frac{9}{4}\cdot\frac{\left(x+y+z\right)^2}{3\left(x+y+z\right)}\)\(=x+y+z\)
Dấu '='xảy ra <=>\(\hept{\begin{cases}x+y+z=xyz\\x=y=z\end{cases}\Rightarrow x=y=z=}\)\(\frac{1}{\sqrt{3}}\)
Lời giải:
Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz:
\(\frac{x^2}{1+y}+\frac{y^2}{1+z}+\frac{z^2}{1+x}\geq \frac{(x+y+z)^2}{1+y+1+z+1+x}=\frac{(x+y+z)^2}{(x+y+z)+3}\)
Áp dụng BĐT Cauchy:
\(x+y+z\geq 3\sqrt[3]{xyz}=3\)
Do đó:
\(\frac{x^2}{1+y}+\frac{y^2}{1+z}+\frac{z^2}{1+x}\geq \frac{(x+y+z)^2}{(x+y+z)+3}\geq \frac{(x+y+z)^2}{(x+y+z)+(x+y+z)}=\frac{x+y+z}{2}\geq \frac{3}{2}\)
Ta có đpcm.
Dấu "=" xảy ra khi $x=y=z=1$
P/s: Bạn chú ý lần sau gõ tiêu đề bằng công thức toán !!!