Question

[Đoàn Phương Liên]

CMR trong 12 số nguyên tố phân biệt bất kì luôn chọn được 6 số nguyên tố a₁, a₂, a₃, a₄, a₅, a₆ 

thỏa mãn  (a₁ - a₂) (a₃ - a₄) (a₅ - a₆) chia hết cho 1800

Answer 1

[T.Ps]

#)Giải :

 Trong 12 số sẽ có 9 số lớn hơn 5

=> Luôn chia cho 3 dư 1 hoặc dư 2

 Vậy trong 12 số luôn tồn tại a₁ - a₂ sao cho a₁ - a₂ chia hết cho 2

Và a₃ - a₄ : a₅ - a₆ sao cho a₃ - a₄ ; a₅ - a₆ chia hết cho 30

Do đó tích trên chia hết cho 2 . 30 . 30 = 1800

        * Nguồn : Câu hỏi tương tự 

        Mk ghi cho bn đỡ ph vô đó thui :P

              #~Will~be~Pens~#

Answer 2

[Nguyễn Linh Chi]

Ta đã biết 3 số nguyên tố đầu tiên trong tập số nguyên tố là: 2, 3, 5

Do đó trong 12 số nguyên tố phân biệt bất kì luôn có ít nhất 9 số lớn hơn 5  và 9 số trên chia cho 3 dư 1 , 2.

=> Theo nguyên lí Dirichlet, tồn tại ít nhất 5 số nguyên tố đồng dư với nhau theo mod 3 ( nghĩa là tồn tại ít nhất 5 số có cùng số dư khi chia cho 3), 5 số trên không chia hết cho 5 

=> Trong 5 số trên có ít nhất 2  số giả sử là a1 và a2  có cùng số dư khi chia  cho 5 hay \(a_1\equiv a_2\left(mod5\right)\)

Và \(a_1\equiv a_2\left(mod3\right)\)

 a1, a2 lẻ => \(a_1\equiv a_2\left(mod2\right)\)

mà (5, 2, 3) =1 

=> \(a_1\equiv a_2\left(mod30\right)\Leftrightarrow a_1-a_2⋮30\)

Xét 7 số trong 9 số còn lại:

Theo nguyên lí Dirichlet tồn tại 4 đồng dư với nhau theo mod 3, Xét 4 số trên khi chia cho 5

TH1: tồn tại hai số a3, a4  sao cho : \(a_3\equiv a_4\left(mod5\right)\)

mặt khác tương tự như trên ta cũng có \(a_3\equiv a_4\left(mod30\right)\Leftrightarrow a_3-a_4⋮30\)

Lấy hai số bất kì a5, a6 trong 5 số   còn lại, ta có: \(a_5+a_6⋮2\)

và 2.30.30=1800

Vậy \(\left(a_1-a_2\right)\left(a_3-a_4\right)\left(a_5+a_6\right)⋮1800\)

TH2: 4 số trên khi chia cho 5 có số dư lần lượt là  1, 2, 3, 4

G/s: \(a_5\equiv1\left(mod5\right);a_6\equiv4\left(mod5\right)\Rightarrow a_5+a_6\equiv5\left(mod5\right)\Rightarrow a_5+a_6⋮5\)

và a5, a6 lẻ  \(\Rightarrow a_5+a_6⋮2\)

 \(\Rightarrow a_5+a_6⋮10\)

Mặt khác : lấy hai số a3, a4 còn lại  ta có: \(a_3\equiv a_4\left(mod3\right)\Rightarrow a_3-a_4⋮3\)

và a3, a4 lẻ => \(a_3-a_4⋮2\)

=> \(a_3-a_4⋮6\)

Ta có: 30.10.6=1800

vậy \(\left(a_1-a_2\right)\left(a_3-a_4\right)\left(a_5+a_6\right)⋮1800\)