cho x,y>0 thỏa mãn x^2+y^3>=x^3+y^4. cmr x^3+y^3=<2
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
ND
0
14 tháng 5 2018
Ta dễ dàng chứng minh BĐT
\(x^4+y^4\ge x^3y+xy^3\)
\(\Rightarrow2\left(x^4+y^4\right)\ge x^4+y^4+x^3y+xy^3=\left(x+y\right)\left(x^3+y^3\right)\)
\(\Rightarrow\frac{x^4+y^4}{x^3+y^3}\ge\frac{x+y}{2}\)
Chứng minh tương tự, cộng theo vế, ta có:
\(\frac{x^4+y^4}{x^3+y^3}+\frac{y^4+z^4}{y^3+z^3}+\frac{z^4+x^4}{z^3+x^3}\ge\frac{x+y}{2}+\frac{y+z}{2}+\frac{z+x}{2}=\frac{2\left(x+y+z\right)}{2}=2\)
Dấu "=" xảy ra khi x=y=z=1/3
N
3
30 tháng 11 2017
Giả thiết phải là \(\le\)
Ta có: \(x^3+y^4\le x^2+y^3\)
a) Ta có:
\(\left(x^2+y^2\right)-\left(x^3+y^3\right)\ge x^2+y^2-x^3-y^3-\left(x^2+y^3\right)+\left(x^3+y^4\right)\)
\(=y^2-2y^3+y^4=\left(y-y^2\right)^2\ge0\)
\(\Rightarrow x^3+y^3\le x^2+y^2\)
b) Tương tự câu a
30 tháng 11 2017
+ từ x^2+y^2+xy=1 => (x - 1/2*y)^2 + 3/4*y^2 = 1
đặt x - 1/2*y = sina và √3/2*y = cosa <> y = 2cosa / √3 và x = sina + cosa /√3
thay vào b ta có
b = (sina + cosa/√3)^2 - ( sina + cosa/√3). 2cosa/√3 + 8/3*(cosa)^2
= (sina)^2 + sin2a/√3 + (cosa)^2/3 - sin2a/√3 - 2/3*(cosa)^2 + 8/3*(cosa)^2
= (sina)^2 + 7(cosa)^2 / 3 = 1+ 4(cosa)^2 / 3 = 1 + 2(1 + cos2a) / 3 = 5/3 + 2cos2a/ 3
=> 1=< b <=7/3
+ min = 1 khi cos2a = -1 hay cosa = 0 <> y = 0 và x = +- 1
+ max = 7 / 3 khi cos2a = 1 hay sina = 0 <> x = 1 + 1/√3 và y = 2 / √3 hoạc x = 1 - 1 / √3
và y = -2 / √3
KN
29 tháng 1 2020
Ta có: \(4^x.4^y.4^z=4^{x+y+z}=4^0=1\)
Áp dụng BĐT cô - si cho 4 số dương:
\(3+4^x=1+1+1+4^x\ge4\sqrt[4]{4^x}\)\(\Rightarrow\sqrt{3+4^x}\ge2\sqrt{\sqrt[4]{4^x}}=2\sqrt[8]{4^x}\)
Tương tự ta có: \(\sqrt{3+4^y}\ge2\sqrt[8]{4^y}\);\(\sqrt{3+4^z}\ge2\sqrt[8]{4^z}\)
\(VT=\text{Σ}_{cyc}\sqrt{3+4^x}=2\left[\sqrt[8]{4^x}+\sqrt[8]{4^y}+\sqrt[8]{4^z}\right]\)
\(\ge2.3\sqrt[3]{\sqrt[8]{4^x.4^y.4^z}}=6\)
(Dấu "="\(\Leftrightarrow x=y=z=0\))
\(x^2+y^3+y^2\ge x^3+y^4+y^2\ge x^3+2y^3\Rightarrow x^2+y^2\ge x^3+y^3\)
Lại có \(\left(x^2+y^2\right)^2=\left(\sqrt{x}.\sqrt{x^3}+\sqrt{y}\sqrt{y^3}\right)^2\le\left(x+y\right)\left(x^3+y^3\right)\)
\(\Rightarrow\left(x^2+y^2\right)^2\le\left(x+y\right)\left(x^2+y^2\right)\Rightarrow x^2+y^2\le x+y\)
\(\Rightarrow\left(x^2+y^2\right)^2\le\left(x+y\right)^2\le2\left(x^2+y^2\right)\)
\(\Rightarrow x^2+y^2\le2\Rightarrow x^3+y^3\le2\)
Dấu "=" xảy ra khi \(x=y=1\)