Question

[Phát Dương]

Cho \(\Delta\)ABC  vuông tại A có AB < AC, đưởng cao AH, trên tia BC lấy D sao cho HD = HA, đưởng vuông góc với BC tai D cắt AC tại E

a/ CMR: \(\Delta\) BEC đồng dạng \(\Delta\)ADC. Tính BE biết AB= 2cm.

b/ Gọi M trung điểm BE. CMR: \(\Delta\)BHM đồng dạng \(\Delta\)BEC. Tính \(\widehat{AHM}\)

c/ Gọi K là giao điểm của AM và BC. CMR: \(\frac{BK}{BC}\)= \(\frac{HD}{AH+HC}\)

Answer 1

[tíntiếnngân]

a) Xét \(\Delta EDC\)và \(\Delta BAC\)

có \(\widehat{EDC}=\widehat{BAC}\left(=90^0\right)\)

\(\widehat{ACB}\)chung

nên \(\Delta EDC\)\(\Delta BAC\)(g - g)

\(\Rightarrow\frac{EC}{BC}=\frac{CD}{AC}\Rightarrow\frac{EC}{CD}=\frac{BC}{AC}\)

Xét \(\Delta BEC\)và \(\Delta ADC\)

có \(\frac{EC}{CD}=\frac{BC}{AC}\)

\(\widehat{ACB}\)chung

nên \(\Delta BEC\)\(\Delta ADC\)(c - g - c)

Xét \(\Delta AHD\)

ta có AH = HD suy ra \(\Delta AHD\)cân tại H

mà  \(\widehat{HAD}=90^0\)nên \(\Delta AHD\)vuông cân tại H

suy ra \(\widehat{ADH}=45^0\)

Gọi giao điểm của AD và BE là O

Xét \(\Delta AOE,\Delta BOD\)

có \(\widehat{OAE}=\widehat{OBD}\)(\(\Delta BEC\)\(\Delta ADC\))

\(\widehat{AOE}=\widehat{BOD}\)(đối đỉnh)

nên \(\Delta AOE\)\(\Delta BOD\)(g - g)

\(\Rightarrow\widehat{AEB}=\widehat{ADH}=45^0\)

Xét \(\Delta ABE\)vuông tại A

có \(\widehat{AEB}=45^0\)nên \(\Delta ABE\)vuông cân tại A

suy ra BE = 2\(\sqrt{AB}\)=\(2\sqrt{2}\)(cm)

b) Gọi giao điểm của AH và BE là I 

dễ chứng minh \(\Delta HBA\)\(\Delta ABC\)(g - g)

\(\Rightarrow\frac{AB}{BC}=\frac{BH}{AB}\Rightarrow AB^2=BH\cdot BC\)

có AB = 2 cm, BE = \(2\sqrt{2}\left(cm\right)\)

\(\Rightarrow\frac{AB}{BE}=\frac{1}{\sqrt{2}}\Rightarrow\frac{AB^2}{BE^2}=\frac{1}{2}\Rightarrow\frac{BH\cdot BC}{BE^2}=\frac{1}{2}\)

\(\Rightarrow\frac{BH}{BE}\cdot\frac{BC}{BE}=\frac{1}{2}\Rightarrow\frac{BH}{BE}=\frac{1}{2}\cdot\frac{BE}{BC}\Rightarrow\frac{BH}{BE}=\frac{BM}{BC}\)

Xét \(\Delta BHM\)và \(\Delta BEC\)

có \(\frac{BH}{BE}=\frac{BM}{BC}\)

\(\widehat{EBC}\)chung

nên \(\Delta BHM\)\(\Delta BEC\)(c - g - c)

\(\Rightarrow\widehat{IMH}\left(\widehat{BMH}\right)=\widehat{BCE}\)

mà \(\widehat{BCE}=\widehat{IAB}\)(cùng phụ với góc \(\widehat{B}\))

\(\Rightarrow\widehat{IMH}=\widehat{IAB}\)

dễ cm \(\Delta IAB\)\(\Delta IMH\)(g - g)

\(\Rightarrow\widehat{AHM}\left(\widehat{IHM}\right)=\widehat{IBA}=45^0\)

c) có AK là phân giác \(\Delta ABC\)

nên \(\frac{BK}{KC}=\frac{AB}{AC}\Rightarrow\frac{BK}{KC+BK}=\frac{AB}{AB+AC}\Rightarrow\frac{BK}{BC}=\frac{AB}{AB+AC}\)(1)

dễ cm \(\Delta ABH\)\(\Delta CAH\)(g - g)

\(\Rightarrow\frac{AB}{AC}=\frac{AH}{HC}\Rightarrow\frac{AB}{AB+AC}=\frac{AH}{AH+HC}\Rightarrow\frac{AB}{AB+AC}=\frac{HD}{AH+HC}\)(2)

từ (1) và (2) suy ra

\(\frac{BK}{BC}=\frac{HD}{AH+HC}\)