Bài 1: Cho a,b,c là đọ dài 3 cạnh của 1 tam giác có chu vi bằng 4. CMR: \(\frac{1}{a}\) \(\frac{1}{b}\) \(\frac{1}{c}\) 8 > 9(\(\frac{1}{a b}\) \(\frac{1}{b c}\) \(\frac{1}{c a}\)) Bài 2: C...

WO

WANNA ONE

11 tháng 5 2019

Bài 1: Cho a,b,c là đọ dài 3 cạnh của 1 tam giác có chu vi bằng 4. CMR: \(\frac{1}{a}\) + \(\frac{1}{b}\) + \(\frac{1}{c}\) + 8 > 9(\(\frac{1}{a+b}\) + \(\frac{1}{b+c}\) + \(\frac{1}{c+a}\)) Bài 2: Cho a,b,c là độ dài 3 cạnh của 1 tam giác. CMR: \(\frac{a^2+b^2-c^2}{2ab}\) + \(\frac{b^2+c^2-a^2}{2bc}\) + \(\frac{c^2+a^2-b^2}{2ca}\) >...

Đọc tiếp

#Toán lớp 9

0

NT

Ngô Tấn Đạt

9 tháng 10 2017 - olm

Cho a;b;c là 3 cạnh của tam giác có chu vi bằng 1.

CMR: \(4\left(\frac{1}{a+b}+\frac{1}{b+c}+\frac{1}{c+a}\right)\le\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}+9\)

#Toán lớp 9

0

CV

chu van anh

17 tháng 12 2016 - olm

Cho a;b;c là độ dài 3 cạnh của một tam giác có chu vi là 1 :

CMR :\(4\left(\frac{1}{a+b}+\frac{1}{b+c}+\frac{1}{a+c}\right)\ge\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}+9\)

Giúp mk nha

#Toán lớp 9

0

TN

Tiến Nguyễn Minh

28 tháng 7 2020 - olm

Bài 1: Cho a,b,c là đọ dài 3 cạnh của một tam giác. CMR: \(\frac{1}{\sqrt{b+c-a}}+\frac{1}{\sqrt{a+c-b}}+\frac{1}{\sqrt{a+b-c}}\ge\frac{1}{\sqrt{a}}+\frac{1}{\sqrt{b}}+\frac{1}{\sqrt{c}}.\)

Bài 2: Cho a,b,c >0. CMR: \(abc\ge\left(a+b-c\right)\left(b+c-a\right)\left(a+c-b\right).\)

#Toán lớp 8

11

PT

Phạm Thị Mai Anh

28 tháng 7 2020

Đặt ⎧⎪⎨⎪⎩a+b−c=xb+c−a=yc+a−b=z(x,y,z>0){a+b−c=xb+c−a=yc+a−b=z(x,y,z>0)

⇒⎧⎪ ⎪ ⎪⎨⎪ ⎪ ⎪⎩a=z+x2b=x+y2c=y+z2⇒{a=z+x2b=x+y2c=y+z2

⇒√a(1b+c−a−1√bc)=√2(z+x)2(1y−2√(x+y)(y+z))≥√x+√z2(1y−2√xy+√yz)=√x+√z2y−1√y⇒a(1b+c−a−1bc)=2(z+x)2(1y−2(x+y)(y+z))≥x+z2(1y−2xy+yz)=x+z2y−1y
Tương tự

⇒∑√a(1b+c−a−1√bc)≥∑√x+√z2y−∑1√y⇒∑a(1b+c−a−1bc)≥∑x+z2y−∑1y

⇒VT≥∑[x√x(y+z)]2xyz−∑√xy√xyz≥2√xyz(x+y+z)2xyz−x+y+z√xyz≐x+y+z√xyz−x+y+z√xyz=0⇒VT≥∑[xx(y+z)]2xyz−∑xyxyz≥2xyz(x+y+z)2xyz−x+y+zxyz≐x+y+zxyz−x+y+zxyz=0

(∑√xy≤x+y+z,x√x(y+z)≥2x√xyz)(∑xy≤x+y+z,xx(y+z)≥2xxyz)

dấu = ⇔x=y=z⇔a=b=c

Đúng(0)

2U

๖²⁴ʱんuﾘｲú❄✎﹏

28 tháng 7 2020

Mai Anh ! cậu giỏi quá, cậu nè :33

Đúng(0)

PT

pham trung thanh

26 tháng 9 2017 - olm

Cho a;b;c là 3 cạnh của 1 tam giác có chu vi bằng 1

CMR\(\frac{2}{9}\le a^3+b^3+c^3+3abc< \frac{1}{4}\)

#Toán lớp 9

2

VT

vũ tiền châu

26 tháng 9 2017

ta có \(P=a^3+b^3+c^3+3abc=\left(a+b+c\right)^3-3\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)+3abc\)

\(=1-3\left(1-a\right)\left(1-b\right)\left(1-a\right)+3abc\)

nhân tung ra và rút gọn thì \(P=1-3\left(ab+bc+ca\right)+6abc=1-3\left(ab+bc+ca-2abc\right)\)

vì \(b+c>a\Rightarrow a+b+c\ge2a\Rightarrow2a-1< 0\)

tương tự với mấy cái kia nhân vaò và ta có

\(\left(2a-1\right)\left(2b-1\right)\left(2c-1\right)< 0\)\(\Leftrightarrow8abc-4\left(ab+bc+ca\right)+2\left(a+b+c\right)-1< 0\)

=> \(1< 4\left(ab+bc+ca\right)-8abc\Rightarrow\frac{1}{4}< \left(ab+bc+ca-2abc\right)\)

=> \(\Rightarrow-3\left(ab+bc+ca-2abc\right)< -\frac{3}{4}\)

=> \(1-3\left(ab+bc+ca-2abc\right)< \frac{1}{4}\) => p<1/4

B) ta có \(\left(a+b-c\right)\left(a-b+c\right)\left(b+c-a\right)=\sqrt{\left[b^2-\left(a-c\right)^2\right]\left[a^2-\left(b-c\right)^2\right]\left[c^2-\left(a-b\right)^2\right]}< abc\)

=> \(\left(1-2a\right)\left(1-2b\right)\left(1-2c\right)< abc\)

=> \(4\left(ab+bc+ca-2abc\right)\le abc+1\le\left(\frac{a+b+c}{3}\right)^3+1=\frac{28}{27}\)

=> \(ab+bc+ca-abc\le\frac{7}{27}\)

=> \(P\ge1-3.\frac{7}{27}=\frac{2}{9}\)

Đúng(0)

F

Freya

26 tháng 9 2017

Ta có a+b+c=1;a;b;c>0 nên

P=a³+b³+c³+3abc

=(a+b+c)³-3(a+b)(b+c)(c+a)+3abc

=1-3abc-3∑ab(a+b)

=1-3abc-3∑ab(1-c)

=1-3(ab+bc+ca)+6abc

Vì a;b;c là 3 cạnh của một tam giác nên

b+c>a=>a+b+c>2a=>2a<1. Tương tự 2b<1;2c<1

Nên (2a-1)(2b-1)(2c-1)<0

<=> 8abc-4(ab+bc+ca)+2(a+b+c)-1<0

=>4[ab+bc+ca-2abc]>1

=>P<1/4

Ta có:

(a+b-c)(b+c-a)(c+a-b)=

\(\sqrt{\left[b^2-\left(a-c\right)^2\right].\left[a^2-\left(b-c\right)^2\right].\left[c^2-\left(a-b\right)^2\right]}\)≤abc

=>(1-2a)(1-2b)(1-2c)≤abc

=>4[ab+bc+ca-2abc]≤abc+1≤\(\left(\frac{a+b+c}{3}\right)^3+1=\frac{28}{27}\)

=>P≥1-3.\(\frac{28}{4.27}=\frac{2}{9}\)

Dấu = xảy ra khi a=b=c=\(\frac{1}{3}\)

trời mãi ms xong

Đúng(0)

TT

Trần Thành Phát Nguyễn

25 tháng 1 2018 - olm

a,b,c là độ dài 3 cạnh của 1 tam giác chu vi bằng 1 cmr

\(\frac{b+c-a}{a^2+bc}+\frac{c+a-b}{b^2+ca}+\frac{a+b-c}{c^2+ab}>4\)

#Toán lớp 9

0

DH

Dương Hoàng Anh Văn ( Team TST 33 )

21 tháng 3 2019 - olm

bài 1:Cho 3 số a,b,c có tổng là 1

CMR: \(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\ge9\)

bài 2 cho a,b,c là 3 cạnh của tam giác:

CMR:\(\frac{a}{b+c-a}+\frac{b}{a+c-b}+\frac{c}{a+b-c}\ge3\)

#Toán lớp 8

3

DG

Dân game thủ

21 tháng 3 2019

Bài số ảo nhờ

kí tện

Dân game thủ

kakakkakak tk cho bố m à

Đúng(0)

TT

Trần Thanh Phương

22 tháng 3 2019

Bài 1 : Đề cần có điều kiện a,b,c là các số thực dương

\(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\)

\(=1\cdot\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)\)

\(=\left(a+b+c\right)\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)\)( vì \(a+b+c=1\))

Áp dụng BĐT Cauchy cho bộ 3 số dương ta có :

\(\hept{\begin{cases}a+b+c\ge3\sqrt[3]{abc}\\\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\ge3\sqrt[3]{\frac{1}{abc}}=\frac{3}{\sqrt[3]{abc}}\end{cases}}\)

Khi đó : \(\left(a+b+c\right)\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)\ge3\sqrt[3]{abc}\cdot\frac{3}{\sqrt[3]{abc}}=\frac{3\cdot3\cdot\sqrt[3]{abc}}{\sqrt[3]{abc}}=9\)

Hay \(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\ge9\)(đpcm)

Đúng(0)

VH

Vũ Huy Đô

21 tháng 1 2019 - olm

Bài 1: Cho a+b=1. Tìm GTNN của biểu thức:

A = a(a² + 2b) + b(b² - a)

Bài 2: Cho tam giác có nửa chu vi p = \(\frac{a+b+c}{2}\)với a,b,c là độ dài ba cạnh.

CMR: \(\frac{1}{p-a}+\frac{1}{p-b}+\frac{1}{p-c}\ge2\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)\)

#Toán lớp 8

4

PM

Phùng Minh Quân

21 tháng 1 2019

\(1)\)

\(A=a\left(a^2+2b\right)+b\left(b^2-a\right)=a^3+2ab+b^3-ab=a^3+b^3+ab\)

\(A=\left(a+b\right)\left(a^2-ab+b^2\right)+ab=a^2+b^2\ge\frac{\left(a+b\right)^2}{1+1}=\frac{1}{2}\) ( Cauchy-Schwarz dạng Engel )

Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow\)\(a=b=\frac{1}{2}\)

\(2)\)

\(\frac{1}{p-a}+\frac{1}{p-b}+\frac{1}{p-c}=\frac{1}{\frac{a+b+c}{2}-a}+\frac{1}{\frac{a+b+c}{2}-b}+\frac{1}{\frac{a+b+c}{2}-c}\)

\(=2\left(\frac{1}{-a+b+c}+\frac{1}{a-b+c}+\frac{1}{a+b-c}\right)\)

Có : \(\hept{\begin{cases}b-a< c\\c-b< a\\a-c< b\end{cases}}\)

\(2\left(\frac{1}{-a+b+c}+\frac{1}{a-b+c}+\frac{1}{a+b-c}\right)>2\left(\frac{1}{2c}+\frac{1}{2a}+\frac{1}{2b}\right)=\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\) ???

Đúng(0)

TT

Thanh Tùng DZ

21 tháng 1 2019

1. A = a(a² + 2b) + b(b² - a)

A = a³ + 2ab + b³ - ab

A = a³ + ab + b³

A = ( a + b ) ( a² - ab + b² ) + ab

A = a² + b²

Mà ( a - b )² \(\ge\)0 với mọi a,b

\(\Rightarrow\)a² + b² \(\ge\)2ab \(\Rightarrow\)2 . ( a² + b² ) \(\ge\)( a + b )² = 1 \(\Rightarrow\)( a² + b²) \(\ge\)\(\frac{1}{2}\)

\(\Rightarrow\)A \(\ge\)\(\frac{1}{2}\) . Dấu " = " xảy ra \(\Leftrightarrow\)a = b \(\frac{1}{2}\)

Đúng(0)

VD

Vũ Đăng

9 tháng 3 2021 - olm

Cho a,b,c là độ dài 3 cạnh của tam giác có chu vi bằng 3. Chứng minh rằng:

\(\frac{a}{1+b^2}+\frac{b}{1+c^2}+\frac{c}{1+a^2}\ge\frac{3}{2}\)

#Toán lớp 10

0

PT

Phan Thị Hà Vy

14 tháng 4 2018 - olm

Cho a,b,c là độ dài ba cạnh của một tam giác và p là nửa chu vi của tam giác. CMR: \(\frac{1}{p-a}+\frac{1}{p-b}+\frac{1}{p-c}\ge2\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)\). Dấu "=" xảy ra khi nào?

#Toán lớp 8

1

NT

Nguyễn Tất Đạt

14 tháng 4 2018

Do p là nửa chu vi tam giác nên \(2p=a+b+c\)

Ta có bổ đề sau: \(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\ge\frac{4}{x+y}\Leftrightarrow\frac{x+y}{xy}\ge\frac{4}{x+y}\Leftrightarrow\left(x+y\right)^2\ge4xy\)

\(\Leftrightarrow x^2+2xy+y^2\ge4xy\Leftrightarrow x^2-2xy+y^2\ge0\Leftrightarrow\left(x-y\right)^2\ge0\)(luôn đúng)

Áp dụng vào bài toán:

\(\frac{1}{p-a}+\frac{1}{p-b}\ge\frac{4}{p-a+p-b}=\frac{4}{2p-a-b}=\frac{4}{c}\)

Tương tự: \(\frac{1}{p-b}+\frac{1}{p-c}\ge\frac{4}{a},\)\(\frac{1}{p-c}+\frac{1}{p-a}\ge\frac{4}{b}\)

\(\Rightarrow2\left(\frac{1}{p-a}+\frac{1}{p-b}+\frac{1}{p-c}\right)\ge\frac{4}{a}+\frac{4}{b}+\frac{4}{c}=4\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)\)

\(\Leftrightarrow\frac{1}{p-a}+\frac{1}{p-b}+\frac{1}{p-c}\ge2\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)\)(đpcm)

Dấu "=" xảy ra khi a=b=c.

Đúng(0)

Chúng tôi đề xuất

Tài nguyên

Ứng dụng mobile

Bảng xếp hạng

Các khóa học có thể bạn quan tâm

Yêu cầu VIP