cho (x+z)(y+z)=1
Cmr1/(x-y)2+1/(x+z)2+1/(y+z)2 ≥4
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
PH
2
AH
Akai Haruma
Giáo viên
15 tháng 9
Lời giải:
Với $x,y,z\in\mathbb{N}^*$ ta có:
$\frac{x}{x+y}+\frac{y}{y+z}+\frac{z}{z+x}> \frac{x}{x+y+z}+\frac{y}{x+y+z}+\frac{z}{x+y+z}=\frac{x+y+z}{x+y+z}=1(1)$
Lại có:
Xét hiệu: $\frac{x}{x+y}-\frac{x+z}{x+y+z}=\frac{-yz}{(x+y)(x+y+z)}<0$ với mọi $x,y,z\in\mathbb{N}^*$
$\Rightarrow \frac{x}{x+y}< \frac{x+z}{x+y+z}$
Hoàn toàn tương tự ta có:
$\frac{y}{y+z}< \frac{y+x}{x+y+z}$
$\frac{z}{x+z}< \frac{z+y}{x+y+z}$
Cộng theo vế ta được:
$\frac{x}{x+y}+\frac{y}{y+z}+\frac{z}{x+z}< \frac{x+z}{x+y+z}+\frac{x+y}{x+y+z}+\frac{y+z}{x+y+z}=\frac{2(x+y+z)}{x+y+z}=2(2)$
Từ $(1); (2)$ ta có đpcm.
AH
Akai Haruma
Giáo viên
15 tháng 9
Lời giải:
Với $x,y,z\in\mathbb{N}^*$ ta có:
$\frac{x}{x+y}+\frac{y}{y+z}+\frac{z}{z+x}> \frac{x}{x+y+z}+\frac{y}{x+y+z}+\frac{z}{x+y+z}=\frac{x+y+z}{x+y+z}=1(1)$
Lại có:
Xét hiệu: $\frac{x}{x+y}-\frac{x+z}{x+y+z}=\frac{-yz}{(x+y)(x+y+z)}<0$ với mọi $x,y,z\in\mathbb{N}^*$
$\Rightarrow \frac{x}{x+y}< \frac{x+z}{x+y+z}$
Hoàn toàn tương tự ta có:
$\frac{y}{y+z}< \frac{y+x}{x+y+z}$
$\frac{z}{x+z}< \frac{z+y}{x+y+z}$
Cộng theo vế ta được:
$\frac{x}{x+y}+\frac{y}{y+z}+\frac{z}{x+z}< \frac{x+z}{x+y+z}+\frac{x+y}{x+y+z}+\frac{y+z}{x+y+z}=\frac{2(x+y+z)}{x+y+z}=2(2)$
Từ $(1); (2)$ ta có đpcm.
MA
6 tháng 7 2023
Đặt \(\dfrac{1}{a}=\dfrac{1}{x+y},\dfrac{1}{b}=\dfrac{1}{y+z},\dfrac{1}{c}=\dfrac{1}{z+x}\)
Đề trở thành: \(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}=0\), tính \(P=\dfrac{bc}{a^2}+\dfrac{ac}{b^2}+\dfrac{ab}{c^2}\)
\(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}=0\) Tương đương \(ab+bc=-ac\)
\(P=\dfrac{b^3c^3+a^3c^3+a^3b^3}{a^2b^2c^2}=\dfrac{\left(ab+bc\right)\left(a^2b^2-ab^2c+b^2c^2\right)+a^3c^3}{a^2b^2c^2}=\dfrac{-ac\left(a^2b^2-ab^2c+b^2c^2\right)+a^3c^3}{a^2b^2c^2}\)
\(=\dfrac{a^2c^2-a^2b^2+ab^2c-b^2c^2}{ab^2c}=\dfrac{ac}{b^2}-\dfrac{a}{c}+1-\dfrac{c}{a}\)\(=ac\left(\dfrac{1}{a^2}+\dfrac{2}{ac}+\dfrac{1}{c^2}\right)-\dfrac{a}{c}+1-\dfrac{c}{a}\) (do \(\dfrac{1}{b}=-\dfrac{1}{a}-\dfrac{1}{c}\) tương đương \(\dfrac{1}{b^2}=\dfrac{1}{a^2}+\dfrac{2}{ac}+\dfrac{1}{c^2}\))
\(=3\)
Vậy P=3
AT
16 tháng 7 2021
2. \(P=\dfrac{x^2}{y+z}+\dfrac{y^2}{x+z}+\dfrac{z^2}{x+y}\ge\dfrac{\left(x+y+z\right)^2}{2\left(x+y+z\right)}\) (BĐT Cauchy-Schwarz)
\(=\dfrac{1}{2}\)
\(\Rightarrow P_{min}=\dfrac{1}{2}\) khi \(\dfrac{x}{y+z}=\dfrac{y}{z+x}=\dfrac{z}{x+y}\Rightarrow x=y=z=\dfrac{1}{3}\)
16 tháng 7 2021
1, đặt \(x^2+x=t\)
=>\(A=t\left(t-4\right)=t^2-4t=t^2-4t+4-4\)
\(=>A=\left(t-2\right)^2-4\ge-4\) dấu"=' xảy ra\(t=2\)
\(=>x^2+x=2< =>x^2+x-2=0\)
\(< =>x^2+2.\dfrac{1}{2}x+\dfrac{1}{4}-\dfrac{9}{4}=0\)
\(< =>\left(x+\dfrac{1}{2}\right)^2-\left(\dfrac{3}{2}\right)^2=0< =>\left(x-1\right)\left(x+2\right)=0\)
\(=>\left[{}\begin{matrix}x=1\\x=-2\end{matrix}\right.\) vậy Amin=-4<=>\(\left[{}\begin{matrix}x=1\\x=-2\end{matrix}\right.\)
B2
\(=>P=\dfrac{x^2}{y+z}+\dfrac{y+z}{4}+\dfrac{y^2}{x+z}+\dfrac{x+z}{4}+\dfrac{z^2}{x+y}+\dfrac{x+y}{4}\)
\(-\left(\dfrac{y+z+x+z+x+y}{4}\right)\)
áp dụng BDT AM-GM
\(=>\dfrac{x^2}{y+z}+\dfrac{y+z}{4}\ge2\sqrt{\dfrac{x^2}{4}}=x^{ }\left(1\right)\)
\(\)tương tự \(=>\dfrac{y^2}{x+z}+\dfrac{x+z}{4}\ge y\left(2\right)\)
\(=>\dfrac{z^2}{x+y}+\dfrac{x+y}{4}\ge z\left(3\right)\)
(1)(2)(3) \(=>P\ge x+y+z-\dfrac{1}{2}.x+y+z=1-\dfrac{1}{2}=\dfrac{1}{2}\)
dấu"=" xảy ra<=>x=y=z=1/3
25 tháng 6 2023
`@` `\text {Ans}`
`\downarrow`
`1,`
\((y-5)(y+8)-(y+4)(y-1)\)
`= y(y+8) - 5(y+8) - [y(y-1) + 4(y-1)]`
`= y^2+8y - 5y - 40 - (y^2-y + 4y - 4)`
`= y^2+8y-5y-40 - y^2+y-4y+4`
`= (y^2-y^2)+(8y-5y+y-4y) +(-40+4)`
`= -36`
Vậy, bt trên không phụ thuộc vào gtr của biến.
`2,`
\(y^4-(y^2+1)(y^2-1)\)
`= y^4 - [y^2(y^2-1)+y^2-1]`
`= y^4- (y^4-y^2 + y^2-1)`
`= y^4-(y^4-1)`
`= y^4-y^4+1`
`= 1`
Vậy, bt trên không phụ thuộc vào gtr của biến.
`3,`
\(x(y-z) + y(z-x) +z(x-y)\)
`= xy-xz + yz - yx + zx-zy`
`= (xy-yx) + (-xz+zx) + (yz-zy)`
`= 0`
Vậy, bt trên không phụ thuộc vào gtr của biến.
`4,`
\(x(y+z-yz) -y(z+x-xz)+z(y-x)\)
`= xy+xz-xyz - yz - yx + yxz + zy - zx`
`= (xy-yx)+(xz-zx)+(-xyz+yxz)+(-yz+zy)`
`= 0`
Vậy, bt trên không phụ thuộc vào gtr của biến.
`5,`
\(x(2x+1)-x^2(x+2)+x^3-x+3\)
`= 2x^2+x - x^3 - 2x^2 + x^3 - x + 3`
`= (2x^2-2x^2)+(-x^3+x^3)+(x-x)+3`
`= 3`
Vậy, bt trên không phụ thuộc vào gtr của biến.
`6,`
\(x(3x-x+5)-(2x^3+3x-16)-x(x^2-x+2)\)
`= 3x^2 - x^2 + 5x - 2x^3 - 3x + 16 - x^3 + x^2 - 2x`
`= -3x^3 + 3x^2 + 16`
Bạn xem lại đề bài.
`\text {#KaizuulvG}`