Question

[Trần Khánh Hoài]

1.cho hai số thực không âm a,b thỏa mãn \(\sqrt{a}+\sqrt{b}=1\)

chứng minh rằng \(ab\left(a+b\right)^2\le\frac{1}{64}\)

2.cho các số thực x,y thỏa mãn: x+y=2

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức Q=x³+y³+x²+y²

Answer 1

[Nguyễn Việt Lâm]

Câu 1:

\(\sqrt{a}+\sqrt{b}=1\Leftrightarrow a+b+2\sqrt{ab}=1\Leftrightarrow a+b=1-2\sqrt{ab}\)

BĐT cần chứng minh tương đương:

\(ab\left(1-2\sqrt{ab}\right)^2\le\frac{1}{64}\Leftrightarrow\sqrt{ab}\left(1-2\sqrt{ab}\right)\le\frac{1}{8}\)

Áp dụng BĐT \(xy\le\frac{\left(x+y\right)^2}{4}\) ta có:

\(\frac{1}{2}.2\sqrt{ab}\left(1-2\sqrt{ab}\right)\le\frac{1}{2}\frac{\left(2\sqrt{ab}+1-2\sqrt{ab}\right)^2}{4}=\frac{1}{8}\) (đpcm)

Dấu "=" xảy ra khi \(2\sqrt{ab}=1-2\sqrt{ab}\Rightarrow ab=\frac{1}{16}\Rightarrow a=b=\frac{1}{4}\)

Câu 2:

Ta có: \(xy\le\frac{\left(x+y\right)^2}{4}=1\)

\(Q=\left(x+y\right)\left(x^2-xy+y^2\right)+\left(x+y\right)^2-2xy\)

\(Q=2\left[\left(x+y\right)^2-3xy\right]+4-2xy\)

\(Q=2\left(4-3xy\right)+4-2xy\)

\(Q=12-8xy\ge12-8=4\)

\(\Rightarrow Q_{min}=4\) khi \(x=y=1\)