Cho x, y > 0 và x + y = 1. Tìm GTNN của \(\frac{x}{\sqrt{1-x}}+\frac{y}{\sqrt{1-y}}\)
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
NH
3
1 tháng 7 2017
\(A=\frac{1}{\sqrt{x}}+\frac{1}{\sqrt{y}}+\frac{1}{\sqrt{z}}\ge\frac{2}{x+1}+\frac{2}{y+1}+\frac{2}{z+1}\ge\frac{18}{x+y+z+3}=3\)
30 tháng 7 2019
chịu thua vô điều kiện xin lỗi nha : v
30 tháng 7 2019
muốn biết câu trả lời lo mà sệt trên google ấy đừng có mà dis:v
6 tháng 11 2017
a,\(A\ge\frac{9}{\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z}}\ge\frac{9}{\sqrt{3\left(x+y+z\right)}}=3\)=3
MInA=3<=>x=y=z=1
6 tháng 11 2017
b)dùng cô si đi(đề thi chuyên bình phước năm 2016-2017)
TN
19 tháng 7 2017
Áp dụng BĐT AM-GM ta có:
\(\frac{\sqrt{1+x^3+y^3}}{xy}\ge\frac{\sqrt{3\sqrt[3]{x^3y^3}}}{xy}=\frac{\sqrt{3xy}}{xy}=\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{xy}}\)
Tương tự cho 2 BĐT còn lại ta có:
\(\frac{\sqrt{1+y^3+z^3}}{yz}\ge\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{yz}};\frac{\sqrt{1+z^3+x^3}}{xz}\ge\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{xz}}\)
Cộng theo vế 3 BĐT trên ta có:
\(M\ge\sqrt{3}\left(\frac{1}{\sqrt{xy}}+\frac{1}{\sqrt{yz}}+\frac{1}{\sqrt{xz}}\right)=\sqrt{3}\cdot\left(\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{xyz}}+\frac{\sqrt{y}}{\sqrt{xyz}}+\frac{\sqrt{z}}{\sqrt{xyz}}\right)\)
\(=\sqrt{3}\cdot\frac{\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z}}{\sqrt{xyz}}\ge\sqrt{3}\cdot\frac{3\sqrt[3]{\sqrt{xyz}}}{1}=3\sqrt{3}\)
Khi \(x=y=z=1\)
MT
7 tháng 10 2019
Ta có: \(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\ge\frac{4}{x+y}\)(BĐT Svacxo)
\(\Rightarrow\frac{1}{2}\ge\frac{4}{x+y}\)
\(\Leftrightarrow x+y\ge8\)(1)
Áp dụng BĐT Cauchy cho 2 số không âm:
\(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\ge2\sqrt{\frac{1}{xy}}=\frac{2}{\sqrt{xy}}\)
\(\Rightarrow\frac{1}{2}\ge\frac{2}{\sqrt{xy}}\)
\(\Leftrightarrow\sqrt{xy}\ge4\)(2)
Từ (1) và (2) suy ra \(x+\sqrt{xy}+y\ge16\)
\(\Leftrightarrow\left(\sqrt{x}+\sqrt{y}\right)^2\ge16\)
\(\Leftrightarrow\sqrt{x}+\sqrt{y}\ge4\)
10 tháng 10 2019
Muốn cô k cũng dễ lắm. Tuy nhiên cái cô muốn là các em làm được bài trên OLM sẽ nhìn ra được những lỗi sai của mình thì để lần sau trong các cuộc thi HSG hay các bài kiểm tra trên lớp sẽ không bị mắc phải những cái lỗi tương tự.
bài phía dưới: Từ (1) , (2) => \(x+2\sqrt{xy}+y\ge16\) nha
Bỏ qua lỗi này. Cái quan trọng là khi tìm giá trị lớn nhất hoặc nhỏ nhất em cần phải biết nó đạt tại x =?, y=?.
nếu bỏ qua phần này sẽ bị trừ điểm rất nặng. :)
Ta chứng minh các bất đẳng thức:
\(x+y\ge2\sqrt{xy}\Leftrightarrow2\sqrt{xy}\le1\Leftrightarrow\sqrt{xy}\le\frac{1}{2}\)
\(x+y\ge2\sqrt{xy}\Leftrightarrow2x+2y\ge x+y+2\sqrt{xy}\)
\(\Leftrightarrow\left(\sqrt{x}+\sqrt{y}\right)^2\le2\left(x+y\right)=2\Rightarrow\sqrt{x}+\sqrt{y}\le\sqrt{2}\)
\(\left[\left(\frac{x}{\sqrt{x\sqrt{y}}}\right)^2+\left(\frac{y}{\sqrt{y\sqrt{x}}}\right)^2\right]\left(\sqrt{x\sqrt{y}}^2+\sqrt{y\sqrt{x}}^2\right)\ge\left(x+y\right)^2\) (Bunyakovski)
\(\Leftrightarrow\frac{x^2}{x\sqrt{y}}+\frac{y^2}{y\sqrt{x}}\ge\frac{\left(x+y\right)^2}{x\sqrt{y}+y\sqrt{x}}\)
Ta có:
\(\frac{x}{\sqrt{1-x}}+\frac{y}{\sqrt{1-y}}=\frac{x}{\sqrt{y}}+\frac{y}{\sqrt{x}}=\frac{x^2}{x\sqrt{y}}+\frac{y^2}{y\sqrt{x}}\)
\(\ge\frac{\left(x+y\right)^2}{x\sqrt{y}+y\sqrt{x}}=\frac{1}{\sqrt{xy}\left(\sqrt{x}+\sqrt{y}\right)}\ge\frac{1}{\frac{1}{2}\cdot\sqrt{2}}=\sqrt{2}\)
Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}\frac{x}{x\sqrt{y}}=\frac{y}{y\sqrt{x}}\\x=y\end{cases}\Leftrightarrow x=y}\)
x+y=1 <=> x=y=1/2
Vậy GTNN của biểu thức trên là \(\sqrt{2}\)<=> x=y=1/2
Hơi dài tí, tại chỉ suy nghĩ như thế thôi
Em cảm ơn Le Hong Phuc ạ!