Cho a,b,c,d là các số thực dương a2 +b2 +c2 +d2\(\le4\) Tìm GTNN hoặc GTLN của bieetr thức
M=\(\frac{1}{a+b+c}+\frac{1}{b+c+d}+\frac{1}{a+d+b}+\frac{1}{c+d+a}\)
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
MD
11 tháng 11 2018
giỏi thì làm bài nÀY nèk
chứ mấy bác cứ đăng linh ta linh tinh lên online math
11 tháng 11 2018
Linh ta linh tinh gì. ko biết làm thì tôi mới nhờ mọi người chứ
đây là câu cuối bài khảo sat trg tôi. ko làm được thì đừng phát biểu linh tinh
1 tháng 6 2020
BĐT Bunhiacopxky em chưa học cô ạ
Cô cong cách nào không ạ
AH
Akai Haruma
Giáo viên
1 tháng 6 2020
Nguyễn Thị Nguyệt Ánh:
Vậy thì bạn có thể chứng minh $\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\geq \frac{9}{x+y+z}$ thông qua BĐT Cô-si:
Áp dụng BĐT Cô-si:
$x+y+z\geq 3\sqrt[3]{xyz}$
$xy+yz+xz\geq 3\sqrt[3]{x^2y^2z^2}$
Nhân theo vế:
$(x+y+z)(xy+yz+xz)\geq 9xyz$
$\Rightarrow \frac{xy+yz+xz}{xyz}\geq \frac{9}{x+y+z}$
hay $\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\geq \frac{9}{x+y+z}$
SL
26 tháng 4 2017
\(\frac{1}{a}-1=\frac{a+b+c+d}{a}-1=\frac{b+c+d}{a}\ge\frac{3\sqrt[3]{bcd}}{a}\)
tương tự với 3 cái còn lại rồi nhân vô
SL
26 tháng 4 2017
Tình yêu sao khác thường
Đôi lúc ta thật kiên cường
Nhiều người trách mình điên cuồng
Cứ lao theo dù không lối ra
DD
30 tháng 4 2019
Đường link : Câu hỏi của Hà Lê - Toán lớp 9 - Học toán với OnlineMath
30 tháng 4 2019
Ta có : a4 + b4 \(\ge\)2a2b2 ; b4 + c4 \(\ge\)2b2c2 ; a4 + c4 \(\ge\)2a2c2
\(\Rightarrow\)a4 + b4 + c4 \(\ge\)a2b2 + b2c2 + a2c2 ( 1 )
Lại có : a2b2 + b2c2 \(\ge\)2b2ac ; b2c2 + a2c2 \(\ge\)2c2ab ; a2b2 + a2c2 \(\ge\)2a2bc
\(\Rightarrow\)a2b2 + b2c2 + a2c2 \(\ge\)abc ( a + b + c ) ( 2 )
Từ ( 1 ) và ( 2 ) \(\Rightarrow\)a4 + b4 + c4 \(\ge\) abc ( a + b + c )
Dấu " = " xảy ra \(\Leftrightarrow\)a = b = c = 1
Tương tự , b4 + c4 + d4 \(\ge\)bcd ( b + c + d ) ; a4 + b4 + d4 \(\ge\)abd ( a + b + d ) ; c4 + d4 + a4 \(\ge\)acd ( a + c + d )
\(\frac{1}{a^4+b^4+c^4+abcd}\le\frac{1}{abc\left(a+b+c\right)+abcd}=\frac{abcd}{abc\left(a+b+c+d\right)}=\frac{d}{a+b+c+d}\)
\(\frac{1}{b^4+c^4+d^4+abcd}\le\frac{a}{a+b+c+d}\); \(\frac{1}{a^4+b^4+d^4+abcd}\le\frac{c}{a+b+c+d}\)
\(\frac{1}{c^4+d^4+a^4+abcd}\le\frac{b}{a+b+c+d}\)
Cộng từng vế theo vế , ta được :
A \(\le\)1 ( đặt A = biểu thức ấy nhé )
Vậy GTLN A = 1 \(\Leftrightarrow\)a = b = c = d = 1
11 tháng 7 2023
\(a^2+b^2+c^2+d^2+1=a\left(b+c+d+1\right)\)
\(\Leftrightarrow4a^2+4b^2+4c^2+4d^2+4=4ab+4ac+4ad+4a\)
\(\Leftrightarrow a^2-4ab+4b^2+a^2-4ac+4c^2+a^2-4ad+4d^2+a^2-4a+4=0\)
\(\Leftrightarrow\left(a-2b\right)^2+\left(a-2c\right)^2+\left(a-2d\right)^2+\left(a-2\right)^2=0\)
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}a=2b\\a=2c\\a=2d\\a=2\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}a=2\\b=c=d=1\end{matrix}\right.\).
Vậy \(\left(a,b,c,d\right)=\left(2,1,1,1\right)\)
NC
17 tháng 8 2020
a) Áp dụng Cauchy Schwars ta có:
\(M=\frac{a^2}{a+1}+\frac{b^2}{b+1}+\frac{c^2}{c+1}\ge\frac{\left(a+b+c\right)^2}{a+b+c+3}=\frac{9}{6}=\frac{3}{2}\)
Dấu "=" xảy ra khi: a = b = c = 1
NC
17 tháng 8 2020
b) \(N=\frac{1}{a}+\frac{4}{b+1}+\frac{9}{c+2}\ge\frac{\left(1+2+3\right)^2}{a+b+c+3}=\frac{36}{6}=6\)
Dấu "=" xảy ra khi: x=y=1
SL
26 tháng 7 2016
\(1-\frac{a}{a+1}=\frac{1}{1+a}=\frac{c}{c+1}+\frac{b}{b+1}+\frac{d}{d+1}\Rightarrow\frac{1}{a+1}\ge3\sqrt[3]{\frac{bcd}{\left(b+1\right)\left(c+1\right)\left(d+1\right)}}\)
cmtt rồi nhân 3 cái lại vs nhau => đpcm
\(M\ge\frac{\left(1+1+1+1\right)^2}{3\left(a+b+c+d\right)}=\frac{16}{3\left(a+b+c+d\right)}\) ( bdt Cauchy dạng Engel)
Mặt khác, có \(\left(a+b+c+d\right)^2\le4\left(a^2+b^2+c^2+d^2\right)\le16\) ( bdt Bunykovski)
\(\Leftrightarrow a+b+c+d\le4\)
\(\Rightarrow M\ge\frac{16}{3\left(a+b+c+d\right)}\ge\frac{16}{12}=\frac{4}{3}\)
Dấu "=" : x =y =z = 1