Cho a, b, c > 0 và a+b+c = 3. Tìm Min \(S=\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\)
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
VT
18 tháng 5 2017
đặt x = a; y = b/2; z = c/3. khi đó ta có \(\frac{1}{1+x}+\frac{1}{1+y}+\frac{1}{1+z}\le1.\)
quy đồng, nhân chéo ta được (1+x)(1+y) + (1+y)(1+z) + (1+z)(1+x) \(\le\)(1+x)(1+y)(1+z).
nhân phá ngoặc, rút gọn ta được x + y + z + 2 \(\le\)xyz. (1)
mặt khác ta có \(1\ge\frac{1}{1+x}+\frac{1}{1+y}+\frac{1}{1+z}\ge\frac{9}{\left(1+x\right)+\left(1+y\right)+\left(1+z\right)}\ge\frac{9}{x+y+z+3}\)
nên x+ y + z \(\ge\)6 (2)
từ (1) và (2) suy ra xyz \(\ge\)8 hay S = abc \(\ge\)48.
dấu bằng xảy ra khi x = y = z = 2 hay a = 2; b = 4; c = 6.
vậy Min S = 48.
TK
1
UI
27 tháng 2 2020
\(P=a-\frac{ab^2}{1+b^2}+b-\frac{bc^2}{1+c^2}+c-\frac{ca^2}{1+a^2}\)
\(\ge a-\frac{ab^2}{2b}+b-\frac{bc^2}{2c}+c-\frac{ca^2}{2c}\) (AM-GM)
\(\ge a-\frac{ab}{2}+b-\frac{bc}{2}+c-\frac{ac}{2}\ge\left(a+b+c\right)-\frac{\left(a+b+c\right)^2}{6}\ge3-\frac{3}{2}=\frac{3}{2}\)
Vay MinP=3/2 dau = xay ra khi a=b=c=1
24 tháng 10 2020
Ta có:
\(\frac{1}{a+2}+\frac{3}{b+4}\le1-\frac{2}{c+3}\)
\(\Rightarrow1-\frac{1}{a+2}\ge\frac{3}{b+4}+\frac{2}{c+3}\ge2\sqrt{\frac{6}{\left(b+4\right)\left(c+3\right)}}\)
\(\Leftrightarrow\frac{a+1}{a+2}\ge2\sqrt{\frac{6}{\left(b+4\right)\left(c+3\right)}}\left(1\right)\)
Tương tự : \(1-\frac{3}{b+4}\ge\frac{1}{a+2}+\frac{2}{c+3}\ge2\sqrt{\frac{2}{\left(a+2\right)\left(c+3\right)}}\Leftrightarrow\frac{b+1}{b+4}\ge2\sqrt{\frac{2}{\left(a+2\right)\left(c+3\right)}}\left(2\right)\)
và \(\frac{c+1}{c+3}\ge2\sqrt{\frac{3}{\left(a+2\right)\left(b+4\right)}}\left(3\right)\)
Từ 1,2,3 ta có:
\(\frac{a+1}{a+2}.\frac{b+1}{b+4}.\frac{c+1}{c+3}\ge\frac{48}{\left(a+2\right)\left(b+4\right)\left(c+3\right)}\Leftrightarrow Q\ge48\)
Vậy Min Q =48 khi a=1,b=5,c=3
Q
0
AV
1
8 tháng 7 2019
Ta có \(a+bc=a\left(a+b+c\right)+bc=\left(a+b\right)\left(a+c\right)\)
\(b+ac=\left(b+a\right)\left(b+c\right)\)
\(c+ab=\left(a+b\right)\left(c+b\right)\)
Đặt \(a+b=x;b+c=y;a+c=z\)=> \(x+y+z=2\)
Khi đó \(P=\frac{xy}{z}+\frac{yz}{x}+\frac{xz}{y}\)
Áp dụng BĐT cosi \(\frac{xy}{z}+\frac{yz}{x}\ge2y\); \(\frac{yz}{x}+\frac{xz}{y}\ge2z\);\(\frac{xy}{z}+\frac{xz}{y}\ge2z\)
Cộng 3 BĐT trên
=> \(P\ge x+y+z=2\)
Vậy MinP=2 khi a=b=c=1/3
Do a ; b ; c > 0 , áp dụng BĐT Cô - si cho 3 số , ta có :
\(a+b+c\ge3\sqrt[3]{abc};\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\ge3\sqrt[3]{\frac{1}{abc}}\)
\(\Rightarrow\left(a+b+c\right)\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)\ge9\)
\(\Rightarrow3\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)\ge9\Rightarrow\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\ge3\)
Dấu " = " xảy ra \(\Leftrightarrow a=b=c=1\)