Question

[Ling Gogi]

Tam giác ABC vuông cân tại A, đường cao AH. Trên tia đối HA lấy D sao cho DH=HA

a) CMR: Tam giác BCD vuông cân

b) E nằm giữa C và D ( E \(\ne\)C;D). Qua B kẻ đường thẳng vuông góc với BE, đường thẳng này cắt AC kéo dài tại F. CMR: BE=BF

c) Tia phân giác \(\widehat{EBF}\)cắt AC tại K. CMR: KE=KF và chu vi tam giác CEK không đổi khi E di chuyển trên CD

d) Kẻ BM vuông góc vs KE tại M. CMR: Tam giác PMQ vuông và AP²  + QD² =PQ²

(P là giao điểm của BK và AD; Q là giao điểm của BE và AD)

Answer 1

[Nguyễn Văn Việt]

a) Vì D nằm trên tia đối của HA

=> BH\(\perp\)HD

Xét 2 \(\Delta BHA\) và \(\Delta BHD\)có :

HA = HD (gt)

\(\widehat{BHA}\) = \(\widehat{BHD}\)

BH là cạnh chung

=>\(\Delta BHA\)= \(\Delta BHD\)(c.g.c)

=>\(\orbr{\begin{cases}\widehat{ABH}=\widehat{DBH}\\AB=BD\end{cases}}\)

Xét 2 \(\Delta ABC\)và \(\Delta DBC\)có:

AB=AD (cmt)

\(\widehat{ABC}\) = \(\widehat{DBC}\)(cmt)

BH là cạnh chung

=> \(\Delta ABC=\Delta DBC\)(c.g.c)

Mà \(\Delta ABC\)vuông cân 

Nên \(\Delta DBC\)vuông cân 

Vậy \(\Delta DBC\)vuông cân (đpcm)

b) Vì \(\Delta ABC\)vuông cân tại A

=> \(\widehat{ABC}=\widehat{ACB}=\frac{90^o}{2}=45^o\)

Vì \(\Delta DBC\)vuông cân tại D

=>\(\widehat{DBC}=\widehat{DCB}=\frac{90^o}{2}=45^o\)

Ta có: \(\widehat{ABC}+\widehat{DBC}=90^o\)

Mà \(\widehat{ABC}+\widehat{DBC}=\widehat{ABD}\)

=> \(\widehat{ABD}=90^o\)

Ta có \(\widehat{DBE}+\widehat{ABE}=\widehat{ABD}=90^o\)

          \(\widehat{FBA}+\widehat{ABE}=\widehat{FBE}=90^o\)(vì FB\(\perp\)BE)

=>    \(\widehat{DBE}=\widehat{FBA}\)

Xét 2 \(\Delta\) ABF và \(\Delta\) DBE có:

\(\widehat{FBA}=\widehat{EBD}\)

AB = BD

\(\widehat{BAF}=\widehat{BDE}\left(=90^o\right)\) 

=>\(\Delta ABF=\Delta DBE\)(g.c.g)

=> BE=BF ( 2 cạnh tương ứng)

Vậy BE=BF (đpcm)