Cho a,b,c là các cạnh của một tam giac vuông ,c là canh huyền :CMR:a^2N+b^2N<=c^2N
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
24 tháng 12 2021
Áp dụng PTG ta có: \(c^2=a^2+b^2\) với \(n=1\)
Giả sử đúng với \(n=k\)
\(\Rightarrow A_k=a^{2k}+b^{2k}\le c^{2k}\)
Cần cm nó cũng đúng với \(n=k+1\)
\(\Rightarrow A_{k+1}=a^{2k+2}+b^{2k+2}=c^{2k+2}\\ \Rightarrow\left(a^{2k}+b^{2k}\right)\left(a^2+b^2\right)-a^2b^{2k}-a^{2k}b^2\le c^{2k}\cdot c^2=c^{2k+2}\)
Vậy BĐT đúng với \(n=k+1\)
\(\RightarrowĐpcm\)
12 tháng 2 2018
Áp dụng định lý PITAGO :
Ta có : \(c^2=a^2+b^2\)
Nhân cả 2 vế với n thì ta có :
\(\Rightarrow\)\(a^{2n}+b^{2n}=c^{2n}\)
Vậy \(a^{2n}+b^{2n}=c^{2n}\left(ĐPCM\right)\)
11 tháng 9 2019
a, b, c là 3 cạnh của tam giác vuông => a, b, c>0
Chứng minh \(a^{2n}+b^{2n}\le c^{2n}\) (1) quy nạp theo n.
+) Với n=1 \(a^2+b^2=c^2\) ( đúng)
+) Với n=2 \(a^4+b^4=\left(a^2+b^2\right)^2-2a^2b^2=c^4-2a^2b^2< c^4\)
=> (1) đúng với n=2
+) G/s: (1) đúng với n . Nghĩa là: \(a^{2n}+b^{2n}\le c^{2n}\)
Ta chứng minh (1) đúng với n+1
Thật vậy ta có:
\(a^{2\left(n+1\right)}+b^{2\left(n+1\right)}=a^{2n+2}+b^{2n+2}=a^{2n}.a^2+b^{2n}.b^2^{ }\)
\(=\left(a^{2n}+b^{2n}\right)\left(a^2+b^2\right)-a^2.b^{2n}-a^{2n}.b^2\le c^{2n}.c^2-a^2b^{2n}-a^{2n}.b^2< c^{2n}.c^2=c^{2\left(n+1\right)}\)
=> (1) đúng với n+1
Vậy (1) đúng với mọi n>0
'Vậy \(a^{2n}+b^{2n}\le c^{2n}\)
Ta cần chứng minh: \(a^{2n}+b^{2n}\le c^{2n}\)(1)
* Với n = 1 thì \(a^2+b^2=c^2\)(Đúng với định lý Py - ta - go)
* Với n = 2 thì \(a^4+b^4=a^4+a^2b^2+b^4+a^2b^2-2a^2b^2\)
\(=a^2\left(a^2+b^2\right)+b^2\left(a^2+b^2\right)-2a^2b^2\)
\(=\left(a^2+b^2\right)^2-2a^2b^2\le\left(c^2\right)^2=c^4\)(Đúng với (1))
Giả sử (1) đúng với n, tức là \(a^{2n}+b^{2n}\le c^{2n}\)
Ta cần chứng minh (1) đúng với n + 1
\(\Rightarrow a^{2\left(n+1\right)}+b^{2\left(n+1\right)}=a^{2n+2}+b^{2n+2}\)
\(=a^{2n}.a^2+b^{2n}.b^2\)
\(=a^{2n}.a^2+a^2.b^{2n}+b^{2n}.b^2+a^{2n}.b^2-a^2.b^{2n}-a^{2n}.b^2\)
\(=a^2\left(a^{2n}+b^{2n}\right)+b^2\left(a^{2n}+b^{2n}\right)-a^2.b^{2n}-a^{2n}.b^2\)
\(=\left(a^2+b^2\right)\left(a^{2n}+b^{2n}\right)-a^2.b^{2n}-a^{2n}.b^2\)
\(\le c^2.c^{2n}-a^2.b^{2n}-a^{2n}.b^2=c^{2n+2}\)(đúng)
Vậy \(a^{2n}+b^{2n}\le c^{2n}\)(đpcm)