Chứng minh rằng: Với mọi a,b ∈ Z, nếu a và b không chia hết cho 3 thì \(a^6-b^6\) chia hết cho 9
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
17 tháng 12 2014
a,60 chia hết cho 15 => 60n chia hết cho 15 ; 45 chia hết cho 15 => 60n+45 chia hết cho 15 (theo tính chất 1)
60n chia hết cho 30 ; 45 không chia hết cho 30 => 60n+45 không chia hết cho 30 (theo tính chất 2)
b,Giả sử có số a thuộc N thoả mãn cả 2 điều kiện đã cho thì a=15k+6 (1) và a=9q+1.
Từ (1) suy ra a chia hết cho 3, từ (2) suy ra a không chia hết cho 3. Đó là điều vô lí. Vậy không có số tự nhiên nào thoả mãn đề.
c,1005 chia hết cho 15 => 1005a chia hết cho 15 (1)
2100 chia hết cho 15 => 2100b chia hết cho 15 (2)
Từ (1) và (2) suy ra 1005a+2100b chia hết cho 15 (theo tính chất 1)
d,Ta có : n^2+n+1=nx(n+1)+1
nx(n+1) là tích của 2 số tự nhiên liên tiếp nên chia hết cho 2 suy ra nx(n+1)+1 là một số lẻ nên không chia hết cho 2.
nx(n+1) là tích của 2 số tự nhiên liên tiếp nên không có tận cùng là 4 hoặc 9 nên nx(n+1)+1 không có tận cùng là 0 hoặc 5, do đó nx(n+1)+1 không chia hết cho 5.
10 tháng 6 2015
Mình xin trả lời ngắn gọn hơn! a)60 chia hết cho 15=> 60n chia hết cho 15 15 chia hết cho 15 =>60n+15 chia hết cho 15. 60 chia hết cho 30=>60n chia hết cho 30 15 không chia hết cho 30 =>60n+15 không chia hết cho 30 b)Gọi số tự nhiên đó là A Giả sử A thỏa mãn cả hai điều kiện => A= 15.x+6 & = 9.y+1 Nếu A = 15x +6 => A chia hết cho 3 Nếu A = 9y+1 => A không chia hết cho 3 => vô lí.=> c) Vì 1005;2100 chia hết cho 15=> 1005a; 2100b chia hết cho 15. => 1500a+2100b chia hết cho 15. d) A chia hết cho 2;5 => A chia hết cho 10. => A là số chẵn( cụ thể hơn là A là số có c/s tận cùng =0.) Nếu n là số chẵn => A là số lẻ. (vì chẵn.chẵn+chẵn+lẻ=lẻ) Nếu n là số lẻ => A là số lẻ (vì lẻ.lẻ+lẻ+lẻ=lẻ) => A không chia hết cho 2;5
IL
0
DT
27 tháng 7 2016
a) \(a^3-a=a\left(a^2-1\right)=a\left(a-1\right)\left(a+1\right)\)
Vì \(n;n+1;n-1\)là 3 số nguyên liên tiếp chia hết cho 6.
\(\Rightarrow a\left(a+1\right)\left(a-1\right)\)chia hết cho 6
Hay \(a^3-a\)chia hết cho 6 (với mọi \(a\in Z\))
b) \(ab.\left(a^2-b^2\right)\)
Nếu a hoặc b chia hết cho 6 \(\Rightarrow ab.\left(a^2-b^2\right)\)chia hết cho 6
Nếu a và b không chia hết cho 6 mà \(a^2\)chia 6 dư 1(2;3;4;5....) và \(b^2\)chia 6 dư 1(2;3;4;5...)
\(\Rightarrow a^2-b^2\)chia 6 dư 1 (2;3;4;5...) - 1 (2;3;4;5...) = 0
thì \(ab.\left(a^2-b^2\right)\)chia hết cho 6.
24 tháng 5 2022
a: \(a^3-a=a\left(a^2-1\right)=a\left(a-1\right)\left(a+1\right)\)
Vì a;a-1;a+1 là ba số nguyên liên tiếp
nên \(a\left(a-1\right)\left(a+1\right)⋮3!\)
hay \(a^3-a⋮6\)
b: \(ab\left(a^2-b^2\right)=a^3b-ab^3\)
\(=a^3b-ab+ab-ab^3\)
\(=b\left(a^3-a\right)+a\left(b-b^3\right)\)
Vì \(a^3-a⋮6\)
và \(b-b^3=-\left(b^3-b\right)⋮6\)
nên \(ab\left(a^2-b^2\right)⋮6\)
IL
1
S
27 tháng 7 2018
Vì a không chia hết cho 3 => a có dạng 3k+1 hoặc 3k+2 (k thuộc Z)
- Nếu \(a=3k+1\Rightarrow a^2=\left(3k+1\right)^2=9k^2+6k+1\) chia 3 dư 1
- Nếu \(a=3k+2\Rightarrow a^2=\left(3k+2\right)^2=9k^2+12k+1\) chia 3 dư 1
=> nếu a không chia hết cho thì a2 chia 3 dư 1 (1)
CM tương tự ta có nếu b không chia hết cho 3 thì b2 chia 3 dư 1 (2)
Từ (1) và (2) => \(a^2-b^2⋮3\) (3)
Lại có: \(a^6-b^6=\left(a^2-b^2\right)\left(a^4+a^2b^2+b^4\right)=\left(a^2-b^2\right)\left(a^4-2a^2b^2+b^4+3a^2b^2\right)=\left(a^2-b^2\right)\left[\left(a^2-b^2\right)^2+3a^2b^2\right]\)
Từ (3) => \(\left(a^2-b^2\right)^2⋮3\)
Mà \(3a^2b^2⋮3\)
\(\Rightarrow\left(a^2-b^2\right)^2+3a^2b^2⋮3\) (4)
Từ (3) và (4) => \(\left(a^2-b^2\right)\left[\left(a^2-b^2\right)^2+3a^2b^2\right]⋮3.3=9\) hay \(a^6-b^6⋮9\) (đpcm)
2 tháng 7 2023
a: a^3-a=a(a^2-1)
=a(a-1)(a+1)
Vì a;a-1;a+1 là ba số liên tiếp
nên a(a-1)(a+1) chia hết cho 3!=6
=>a^3-a chia hết cho 6
Ta có:
\(a^6-b^6=\left(a^3+b^3\right)\left(a^3-b^3\right)=\left(a+b\right)\left(a-b\right)\left(a^2+ab+b^2\right)\left(a^2-ab+b^2\right)\)
Xét: a và b có cùng số dư khi chia cho 3 ( nghĩa là cùng dư 1 hoặc 2),khi đó \(a-b⋮3\Rightarrow\left(a+b\right)\left(a-b\right)\left(a^2+ab+b^2\right)\left(a^2-ab+b^2\right)⋮3\)
a và b khác số dư khi chia cho 3 (nghĩa là 1 số chia 3 dư 1,1 số chia 3 dư 2),khi đó \(a+b⋮3\Rightarrow\left(a+b\right)\left(a-b\right)\left(a^2+ab+b^2\right)\left(a^2-ab+b^2\right)⋮3\)
\(\Rightarrowđpcm\)
Vì \(a\) không chia hết cho \(3\) nên \(a\) có dạng \(a=3k+1\) hoặc \(a=3k+2\) \(\left(k\in Z\right)\)
Nếu \(a=3k+1\) thì \(a^2=\left(3k+1\right)^2=9k^2+6k+1\) chia \(3\) dư \(1\)
Nếu \(a=3k+2\) thì \(a^2=\left(3k+2\right)^2=9k^2+9k+8\) chia \(3\) dư \(1\)
Vậy, nếu \(a\) không chia hết cho \(3\) thì \(a^2\) chia \(3\) dư \(1\) \(\left(1\right)\)
Tương tự, ta cũng có nếu \(b\) không chia hết cho \(3\) thì \(b^2\) chia \(3\) dư \(1\) \(\left(2\right)\)
Từ \(\left(1\right)\) và \(\left(2\right)\) , suy ra \(a^2-b^2\) chia hết cho \(3\) \(\left(3\right)\)
Ta có: \(a^6-b^6=\left(a^2-b^2\right)\left[\left(a^2\right)^2+a^2b^2+\left(b^2\right)^2\right]=\left(a^2-b^2\right)\left[\left(a^2\right)^2-2a^2b^2+\left(b^2\right)^2+3a^2b^2\right]\)
\(=\left(a^2-b^2\right)\left[\left(a^2-b^2\right)+3a^2b^2\right]\)
Theo chứng minh trên, \(a^2-b^2\) chia hết cho \(3\) nên \(\left(a^2-b^2\right)^2\) chia hết cho \(3\)
Lại có: \(3a^2b^2\) chia hết cho \(3\) với mọi \(a;b\in Z\)
nên \(\left(a^2-b^2\right)+3a^2b^2\) chia hết cho \(3\) \(\left(4\right)\)
Từ \(\left(3\right)\) và \(\left(4\right)\) suy ra \(\left(a^2-b^2\right)\left[\left(a^2-b^2\right)+3a^2b^2\right]\) chia hết cho \(3.3\) hay \(a^6-b^6\) chia hết cho \(9\) \(\left(đpcm\right)\)