Cho a + b >1 chứng minh \(a^8+b^8-2^{-7}>0\) Chứng minh lớn hơn 0 bạn nhé
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
28 tháng 3 2021
xí câu 1:))
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz dạng Engel ta có :
\(\frac{x^2}{y-1}+\frac{y^2}{x-1}\ge\frac{\left(x+y\right)^2}{x+y-2}\)(1)
Đặt a = x + y - 2 => a > 0 ( vì x,y > 1 )
Khi đó \(\left(1\right)=\frac{\left(a+2\right)^2}{a}=\frac{a^2+4a+4}{a}=\left(a+\frac{4}{a}\right)+4\ge2\sqrt{a\cdot\frac{4}{a}}+4=8\)( AM-GM )
Vậy ta có đpcm
Đẳng thức xảy ra <=> a=2 => x=y=2
FF
28 tháng 8 2016
3. abc > 0 nên trog 3 số phải có ít nhất 1 số dương.
Vì nếu giả sử cả 3 số đều âm => abc < 0 => trái giả thiết
Vậy nên phải có ít nhất 1 số dương
Không mất tính tổng quát, giả sử a > 0
mà abc > 0 => bc > 0
Nếu b < 0, c < 0:
=> b + c < 0
Từ gt: a + b + c < 0
=> b + c > - a
=> (b + c)^2 < -a(b + c) (vì b + c < 0)
<=> b^2 + 2bc + c^2 < -ab - ac
<=> ab + bc + ca < -b^2 - bc - c^2
<=> ab + bc + ca < - (b^2 + bc + c^2)
ta có:
b^2 + c^2 >= 0
mà bc > 0 => b^2 + bc + c^2 > 0
=> - (b^2 + bc + c^2) < 0
=> ab + bc + ca < 0 (vô lý)
trái gt: ab + bc + ca > 0
Vậy b > 0 và c >0
=> cả 3 số a, b, c > 0
3 tháng 5 2019
1.a, Ta có: \(\left(a+b\right)^2\ge4a>0\)
\(\left(b+c\right)^2\ge4b>0\)
\(\left(a+c\right)^2\ge4c>0\)
\(\Rightarrow\left[\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(a+c\right)\right]^2\ge64abc\)
Mà abc=1
\(\Rightarrow\left[\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(a+c\right)\right]^2\ge64\)
\(\Rightarrow\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(a+c\right)\ge8\left(đpcm\right)\)
27 tháng 5 2016
\(\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\right)\left(a+b\right)\ge4\)
<=> \(1+\frac{a}{b}+\frac{b}{a}+1\ge4\)
<=> \(\frac{a^2+b^2}{ab}\ge4-1-1=2\)
<=> \(a^2+b^2\ge2ab\)
<=> \(a^2-2ab+b^2\ge0\)
<=> \(\left(a-b\right)^2\ge0\) ( điều này đúng, theo tính chất luỹ thừa bậc chẵn nên => đpcm)
Dấu bằng xảy ra <=> a=b
LD
0
UN
3
27 tháng 5 2016
\(\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\right)\left(a+b\right)=2+\frac{a^2+b^2}{ab}\ge4\)
\(\frac{a^2+b^2}{ab}\ge2\)
\(a^2+b^2\ge2ab\) (điều này đúng nên BĐT đúng)
CC
27 tháng 5 2016
Ta có \(\left(a-b\right)^2=a^2-2ab+b^2\Rightarrow a^2+b^2=2ab\Rightarrow\frac{a^2+b^2}{ab}=2\Rightarrow\frac{a}{b}+\frac{b}{a}=2\)
Lại có:\(\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\right)\left(a+b\right)=\frac{a}{a}+\frac{b}{a}+\frac{a}{b}+\frac{b}{b}=2+2=4\)
3 tháng 7 2017
Bài 2:
a) Áp dụng BĐT AM - GM ta có:
\(\dfrac{1}{4}\left(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}\right)=\dfrac{1}{4a}+\dfrac{1}{4b}\) \(\ge2\sqrt{\dfrac{1}{4^2ab}}=\dfrac{2}{4\sqrt{ab}}=\dfrac{1}{2\sqrt{ab}}\)
\(\ge\dfrac{1}{a+b}\) (Đpcm)
b) Trừ 1 vào từng vế của BĐT ta được BĐT tương đương:
\(\left(\frac{x}{2x+y+z}-1\right)+\left(\frac{y}{x+2y+z}-1\right)+\left(\frac{z}{x+y+2z}-1\right)\le\frac{-9}{4}\)
\(\Leftrightarrow-\left(x+y+z\right)\left(\frac{1}{2x+y+z}+\frac{1}{x+2y+z}+\frac{1}{x+y+2z}\right)\le-\frac{9}{4}\)
\(\Leftrightarrow\left(x+y+z\right)\left(\frac{1}{2x+y+z}+\frac{1}{x+2y+z}+\frac{1}{x+y+2z}\right)\ge\frac{9}{4}\)
Áp dụng BĐT phụ \(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}\ge\dfrac{9}{a+b+c}\) ta có:
\(\dfrac{1}{2x+y+z}+\dfrac{1}{x+2y+z}+\dfrac{1}{x+y+2z}\)
\(\ge\dfrac{9}{2x+y+z+x+2y+z+x+y+2z}=\dfrac{9}{4\left(x+y+z\right)}\)
\(\Leftrightarrow\left(x+y+z\right)\left(\frac{1}{2x+y+z}+\frac{1}{x+2y+z}+\frac{1}{x+y+2z}\right)\ge\frac{9}{4}\)
\(\Leftrightarrow\dfrac{x}{2x+y+z}+\dfrac{y}{x+2y+z}+\dfrac{z}{x+y+2z}\le\dfrac{3}{4}\) (Đpcm)
3 tháng 7 2017
Bài 1:
Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz dạng Engel ta có:
\(VT\ge\dfrac{\left(a+b\right)^2}{a-1+b-1}=\dfrac{\left(a+b\right)^2}{a+b-2}\)
Nên cần chứng minh \(\dfrac{\left(a+b\right)^2}{a+b-2}\ge8\)
\(\Leftrightarrow\left(a+b\right)^2\ge8\left(a+b-2\right)\)
\(\Leftrightarrow a^2+2ab+b^2\ge8a+8b-16\)
\(\Leftrightarrow\left(a+b-4\right)^2\ge0\) luôn đúng
ND
3
QD
27 tháng 5 2016
1/a+1/b>=4/a+b
<=> (a+b)/ab>=4/(a+b)
<=> (a+b)^2 >=4ab
<=> a^2 +2ab +b^2 - 4ab>=0
<=> (a-b)^2>=0 => đpcm
II>>
a^3+b^3>=ab(a+b)
<=> (a+b)(a^2 -ab+b^2)>=ab(a+b)
<=> a^2 -ab+b^2>=ab
<=> (a-b)^2 >=0 => đpcm
TN
27 tháng 5 2016
Vì a>0 và b>0 nên ta áp dụng bất đẳng thức cosi ta có:
\(\frac{1}{a}\)+\(\frac{1}{b}\)\(\ge\)2\(\sqrt{\frac{1}{ab}}\) (1)
a+b\(\ge\)2\(\sqrt{ab}\) (2)
nhân vế với vế của (1) và (2) ta có:
(\(\frac{1}{a}\)+\(\frac{1}{b}\))(a+b)\(\ge\)2\(\sqrt{\frac{1}{ab}}\).2\(\sqrt{ab}\)
=>(\(\frac{1}{a}\)+\(\frac{1}{b}\))(a+b)\(\ge\)4
dấu = xảy ra khi a=b