Question

[Lê Việt Anh]

Cm phân thức sau tối giản với mọi số tự nhiên n

a. (12n+1)/(30n+2)

b. (n³+2n)/(n⁴+3n²+1)

c. (2n+1)/(2n²-1)

Answer 1

[Nguyễn Việt Lâm]

a/ Gọi ước chung lớn nhất của \(12n+1\) và \(30n+2\) là \(d\in Z^+\)

\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}12n+1⋮d\\30n+2⋮d\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}5\left(12n+1\right)⋮d\\2\left(30n+2\right)⋮d\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}\left(60n+5\right)⋮d\\\left(60n+4\right)⋮d\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow\left(60n+5\right)-\left(60n+4\right)⋮d\Rightarrow1⋮d\Rightarrow d=1\)

\(\Rightarrow\)\(12n+1\) và \(30n+2\) nguyên tố cùng nhau \(\Rightarrow\frac{12n+1}{30n+2}\) tối giản

b/ \(n=0\) thì \(\frac{0}{1}\) có coi là tối giản không nhỉ? Quên mất rồi, mất căn bản trầm trọng quá

Gọi d là ước chung lớn nhất \(n^3+2n\) và \(n^4+3n^2+1\)

\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}n^3+2n⋮d\\n^4+3n^2+1⋮d\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left(n^4+3n^2+1\right)-n\left(n^3+2n\right)⋮d\)

\(\Rightarrow n^2-1⋮d\Rightarrow n^3+2n-n\left(n^2-1\right)⋮d\Rightarrow n⋮d\) \(\forall n\Rightarrow d=1\)

\(\Rightarrow\) tử và mẫu nguyên tố cùng nhau \(\Rightarrow\) phân số là tối giản

c/ Gọi ước chung lớn nhất của 2n+1 và \(2n^2-1=d\)

\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}2n+1⋮d\\2n^2-1⋮d\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow n\left(2n+1\right)-\left(2n^2-1\right)⋮d\Rightarrow n+1⋮d\)

\(\Rightarrow2\left(n+1\right)-\left(2n+1\right)⋮d\Rightarrow1⋮d\Rightarrow d=1\)

Vậy \(2n+1\) và \(2n^2-1\) nguyên tố cùng nhau \(\Rightarrow\) phân số tối giản

\(12n+1\)