cho a,b,c là các số thức dương thỏa mãn 13a+5b+12c-9=0
chứng minh rằng : \(\dfrac{ab}{2a+b}+\dfrac{3bc}{2b+c}+\dfrac{6ca}{2c+a}\le1\)
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
30 tháng 8 2021
\(VT=\sqrt{\dfrac{a^2b^2}{c\left(a+b+c\right)+ab}}+\sqrt{\dfrac{b^2c^2}{a\left(a+b+c\right)+bc}}+\sqrt{\dfrac{a^2c^2}{b\left(a+b+c\right)+ac}}\\ VT=\sqrt{\dfrac{a^2b^2}{ac+ab+bc+c^2}}+\sqrt{\dfrac{b^2c^2}{a^2+ac+ab+bc}}+\sqrt{\dfrac{a^2c^2}{ab+bc+b^2+ac}}\\ VT=\sqrt{\dfrac{a^2b^2}{\left(c+a\right)\left(b+c\right)}}+\sqrt{\dfrac{a^2c^2}{\left(b+c\right)\left(a+b\right)}}+\sqrt{\dfrac{b^2c^2}{\left(a+b\right)\left(a+c\right)}}\)
Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz:
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}\sqrt{\dfrac{b^2c^2}{\left(a+b\right)\left(a+c\right)}}\le\dfrac{\dfrac{bc}{a+b}+\dfrac{bc}{a+c}}{2}\\\sqrt{\dfrac{a^2c^2}{\left(a+b\right)\left(b+c\right)}}\le\dfrac{\dfrac{ca}{a+b}+\dfrac{ca}{b+c}}{2}\\\sqrt{\dfrac{a^2b^2}{\left(b+c\right)\left(a+c\right)}}\le\dfrac{\dfrac{ab}{b+c}+\dfrac{ab}{a+c}}{2}\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow VT\le\dfrac{\left(\dfrac{bc}{a+b}+\dfrac{ca}{a+b}\right)+\left(\dfrac{ca}{b+c}+\dfrac{ab}{b+c}\right)+\left(\dfrac{bc}{a+c}+\dfrac{ab}{a+c}\right)}{2}\\ \Rightarrow VT\le\dfrac{a+b+c}{2}=\dfrac{2}{2}=1\)
Dấu \("="\Leftrightarrow a=b=c=\dfrac{2}{3}\)
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
18 tháng 2 2022
\(\dfrac{ab}{6+2b+c}=\dfrac{ab}{a+b+c+2b+c}=\dfrac{ab}{\left(a+c\right)+\left(b+c\right)+2b}\le\dfrac{1}{9}\left(\dfrac{ab}{a+c}+\dfrac{ab}{b+c}+\dfrac{ab}{2b}\right)\)
Tương tự:
\(\dfrac{bc}{6+2c+a}\le\dfrac{1}{9}\left(\dfrac{bc}{a+b}+\dfrac{bc}{a+c}+\dfrac{bc}{2c}\right)\)
\(\dfrac{ac}{6+2a+b}\le\dfrac{1}{9}\left(\dfrac{ac}{a+b}+\dfrac{ac}{b+c}+\dfrac{ac}{2a}\right)\)
Cộng vế:
\(P\le\dfrac{1}{9}\left(\dfrac{ac+bc}{a+b}+\dfrac{ab+ac}{b+c}+\dfrac{ab+bc}{a+c}+\dfrac{a+b+c}{2}\right)=\dfrac{1}{6}\left(a+b+c\right)=1\)
T
14 tháng 6 2019
11/Theo BĐT AM-GM,ta có; \(ab.\frac{1}{\left(a+c\right)+\left(b+c\right)}\le\frac{ab}{4}\left(\frac{1}{a+c}+\frac{1}{b+c}\right)\)\(=\frac{1}{4}\left(\frac{ab}{a+c}+\frac{ab}{b+c}\right)\)
Tương tự với hai BĐT kia,cộng theo vế và rút gọn ta được đpcm.
Dấu "=" xảy ra khi a= b=c
T
14 tháng 6 2019
Ơ vãi,em đánh thiếu abc dưới mẫu,cô xóa giùm em bài kia ạ!
9/ \(VT=\frac{\Sigma\left(a+2\right)\left(b+2\right)}{\left(a+2\right)\left(b+2\right)\left(c+2\right)}\)
\(=\frac{ab+bc+ca+4\left(a+b+c\right)+12}{\left(ab+bc+ca\right)+4\left(a+b+c\right)+8+abc+\left(ab+bc+ca\right)}\)
\(\le\frac{ab+bc+ca+4\left(a+b+c\right)+12}{\left(ab+bc+ca\right)+4\left(a+b+c\right)+9+3\sqrt[3]{\left(abc\right)^2}}\)
\(=\frac{ab+bc+ca+4\left(a+b+c\right)+12}{ab+bc+ca+4\left(a+b+c\right)+12}=1\left(Q.E.D\right)\)
"=" <=> a = b = c = 1.
Mong là lần này không đánh thiếu (nãy tại cái tội đánh ẩu)
AH
Akai Haruma
Giáo viên
4 tháng 4 2018
Lời giải:
Vì \(a+b+c=6\) nên BĐT cần chứng minh tương đương với:
\(\frac{ab}{2b+c+a+b+c}+\frac{bc}{2c+a+a+b+c}+\frac{ca}{2a+b+a+b+c}\leq 1(*)\)
Thật vậy, áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz ta có:
\(\frac{ab}{2b+c+a+b+c}=\frac{ab}{(b+c)+(c+a)+2b}\leq \frac{ab}{9}\left(\frac{1}{b+c}+\frac{1}{c+a}+\frac{1}{2b}\right)\)
Hoàn toàn tương tự:
\(\frac{bc}{2c+a+a+b+c}\leq \frac{bc}{9}\left(\frac{1}{a+b}+\frac{1}{a+c}+\frac{1}{2c}\right)\)
\(\frac{ca}{2a+b+a+b+c}\leq \frac{ca}{9}\left(\frac{1}{a+b}+\frac{1}{b+c}+\frac{1}{2a}\right)\)
Cộng các BĐT vừa thu được lại ta có:
\(\text{VT}\leq \frac{1}{9}\left(\frac{ab+ac}{b+c}+\frac{ab+bc}{a+c}+\frac{bc+ca}{a+b}+\frac{a+b+c}{2}\right)\)
\(\Leftrightarrow \text{VT}\leq \frac{1}{9}\left(a+b+c+\frac{a+b+c}{2}\right)=\frac{1}{9}\left(6+\frac{6}{2}\right)=1\)
BĐT \((*)\) hoàn tất, ta có đpcm.
Dấu bằng xảy ra khi \(a=b=c=2\)
AH
Akai Haruma
Giáo viên
28 tháng 5 2019
Lời giải:
Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz ta có:
\(\text{VT}=\frac{ab}{6+2b+c}+\frac{bc}{6+2c+a}+\frac{ca}{6+2a+b}=\frac{ab}{a+b+c+2b+c}+\frac{bc}{a+b+c+2c+a}+\frac{ca}{a+b+c+2a+b}\)
\(=\frac{ab}{2b+(a+c)+(b+c)}+\frac{bc}{2c+(a+b)+(a+c)}+\frac{ca}{2a+(b+a)+(b+c)}\)
\(\leq \frac{ab}{9}\left(\frac{1}{2b}+\frac{1}{a+c}+\frac{1}{b+c}\right)+\frac{bc}{9}\left(\frac{1}{2c}+\frac{1}{a+b}+\frac{1}{a+c}\right)+\frac{ca}{9}\left(\frac{1}{2a}+\frac{1}{b+a}+\frac{1}{b+c}\right)\)
\(\text{VT}\leq \frac{a+b+c}{18}+\frac{ab+bc}{9(a+c)}+\frac{ab+ac}{9(b+c)}+\frac{bc+ac}{9(a+b)}\)
\(\text{VT}\leq \frac{(a+b+c)}{6}=\frac{6}{6}=1\) (đpcm)
Dấu "=" xảy ra khi $a=b=c=2$
UK
1 tháng 3 2019
\(ab+bc+ca=3abc\Rightarrow \frac{ab+bc+ca}{abc}=3\Leftrightarrow \frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=3\)
\(\frac{1}{2a^2+b^2}+\frac{1}{2b^2+c^2}+\frac{1}{2c^2+a^2}=\frac{1}{a^2+(a^2+b^2)}+\frac{1}{b^2+(b^2+c^2)}+\frac{1}{c^2+(c^2+a^2)}\)\(\leq \frac{1}{a^2+2ab}+\frac{1}{b^2+2bc}+\frac{1}{c^2+2ca}\)\(= \frac{1}{9}(\frac{9}{a^2+ab+ab}+\frac{9}{b^2+bc+bc}+\frac{9}{c^2+ca+ca})\)\(\leq \frac{1}{9}(\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}+\frac{2}{ab}+\frac{2}{bc}+\frac{2}{ca})\)\(= \frac{1}{9}(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c})^2\)
\(= \frac{1}{9}.3^2=1\)
Đẳng thức xảy ra khi \(a=b=c=1\)
27 tháng 10 2021
TK: Cho các số thực dương a, b, c thỏa mãn a + b+ c = 3. Chứng minh rằng: \(\sqrt{2a^2+\frac{7}{b^2}}+\sqrt{2b^2+\frac{7}{... - Hoc24