Question

[cc cc]

cho đường tròn (O;3cm) có 2 đường kính AB và CD vuông góc với nhau.Gọi M là một điểm tùy ý thuộc đoạn OC (M khác O và C).Tia BM cắt đường tròn (O) tại N.Gọi E và F lần lượt là 2 điểm thuộc các đường thẳng AC và AD sao cho M là trung điểm EF. Nêu cách xác định E,F và chứng minh rằng tổng(AE+AF) không đổi. Ai đúng mình tịck nha

Answer 1

[Nguyễn Tất Đạt]

O A B C D M N E F

+) Dựng đường thẳng vuông góc với BN tại M cắt AC,D tại E,F. Khi đó: M là trung điểm EF

Thật vậy: Dễ thấy tứ giác ACBD là hình vuông => ^BDF = 90⁰. Có ^BMF = 90⁰ Suy ra: Tứ giác BMFD nội tiếp

=> ^BFM = ^BDM = 45⁰. Do đó: \(\Delta\)BMF vuông cân tại M => MF = MB

Lại thấy: ^BME = ^BCE = 90⁰ => Tứ giác BECM nội tiếp => ^BEM = ^BCM = 45⁰ 

=> \(\Delta\)BME vuông cân tại M => MB = ME. Từ đó: ME = MF (Hoàn tất c/m)

+) Ta có: \(\Delta\)BEF vuông cân tại B => BE = BF. Kết hợp: BC = BD, ^BCE = ^BDF (=90⁰)

Suy ra: \(\Delta\)BCE = \(\Delta\)BDF (Ch.cgv) => CE = DF (Cạnh tương ứng) 

Từ đó: AE + AF = AC + CE + AF = AC + DF + AF = AC + AD = 2AC = R.\(2\sqrt{2}\)= 6\(\sqrt{2}\)(cm) (R=3 cm)

Vậy tổng AE + AF = const (đpcm).

Answer 2

[Lan Nhi Nguyễn]

cho mình hỏi cũng đề này mà chứng minh :

1 ND là đường phân giác của góc ANB 

2. tính căn của BM.BN