Cho \(a,b,c\inℝ\ne0\). Tìm \(x,y,z\inℝ\ne0\)Thỏa mãn:
\(\frac{xy}{ay+bx}=\frac{yz}{bz+cy}=\frac{zx}{cx+az}=\frac{x^2+y^2+z^2}{a^2+b^2+c^2}\)
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
VM
10 tháng 1 2020
\(\frac{xy}{ay+bx}=\frac{yz}{bz+cy}=\frac{xz}{cx+az}=\frac{x^2+y^2+z^2}{a^2+b^2+c^2}\left(1\right)\)
Ta có: \(\frac{xy}{ay+bx}=\frac{yz}{bz+cy}=\frac{xz}{cx+az}.\)
\(\Rightarrow\frac{xyz}{ayz+bxz}=\frac{xyz}{bxz+cxy}=\frac{xyz}{cxy+ayz}.\)
\(\Rightarrow ayz+bxz=bxz+cxy=cxy+ayz\)
\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}ayz+bxz=bxz+cxy\\ayz+bxz=cxy+ayz\\bxz+cxy=cxy+ayz\end{matrix}\right.\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}ayz=cxy\\bxz=cxy\\bxz=ayz\end{matrix}\right.\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}az=cx\\bz=cy\\bx=ay\end{matrix}\right.\left(2\right)\)
Thay (2) vào (1) ta được:
\(\frac{xy}{ay+ay}=\frac{yz}{bz+bz}=\frac{xz}{cx+cx}\)
\(\Rightarrow\frac{xy}{2ay}=\frac{yz}{2bz}=\frac{xz}{2cx}=\frac{x^2+y^2+z^2}{a^2+b^2+c^2}\)
\(\Rightarrow\frac{x}{2a}=\frac{y}{2b}=\frac{z}{2c}=\frac{x^2+y^2+z^2}{a^2+b^2+c^2}\left(3\right).\)
\(\Rightarrow\frac{x^2}{4a^2}=\frac{y^2}{4b^2}=\frac{z^2}{4c^2}=\frac{\left(x^2+y^2+z^2\right)^2}{\left(a^2+b^2+c^2\right)^2}=\frac{x^2+y^2+z^2}{4a^2+4b^2+4c^2}\)
\(\Rightarrow\frac{x^2+y^2+z^2}{4a^2+4b^2+4c^2}=\frac{1.\left(x^2+y^2+z^2\right)}{4.\left(a^2+b^2+c^2\right)}\)
\(\Rightarrow\frac{x^2+y^2+z^2}{a^2+b^2+c^2}=\frac{1}{4}\left(4\right).\)
Từ (3) và (4)
\(\Rightarrow\frac{x}{2a}=\frac{y}{2b}=\frac{z}{2c}=\frac{1}{4}.\)
\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}\frac{x}{2a}=\frac{1}{4}\\\frac{y}{2b}=\frac{1}{4}\\\frac{z}{2c}=\frac{1}{4}\end{matrix}\right.\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=\frac{1}{4}.2a\\y=\frac{1}{4}.2b\\z=\frac{1}{4}.2c\end{matrix}\right.\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=\frac{a}{2}\\y=\frac{b}{2}\\z=\frac{c}{2}\end{matrix}\right.\)
Vậy \(x=\frac{a}{2};y=\frac{b}{2};z=\frac{c}{2}\left(x,y,z\ne0\right);\left(a,b,c\ne0\right).\)
Chúc bạn học tốt!
Ta có:
\(\frac{xy}{ay+bx}=\frac{yz}{bz+cy}=\frac{zx}{cx+az}\left(x;y;z\ne0\right)\)
=> \(\frac{xyz}{azy+bxz=}=\frac{xyz}{xbz+xcy}=\frac{yzx}{ycx+azy}\)
=>\(zay+bxz=xbz+xyc=ycx+azy\)
\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}za=cx\\bx=ay\end{cases}}\)
Đặt \(\frac{x}{a}=\frac{z}{c}=\frac{y}{b}=t\left(t\ne0\right)\)
=> x = at ; z = ct ; y = bt
mà\(\frac{xy}{ay+bx}=\frac{x^2+y^2+z^2}{a^2+b^2+c^2}\)
\(\Rightarrow\)\(\frac{atbt}{abt+bat}=\frac{a^2t^2+b^2t^2+c^2t^2}{a^2+b^2+c^2}\)
\(\Rightarrow\frac{t}{2}=t^2\Rightarrow t=\frac{1}{2}\)
\(\Rightarrow t=\frac{1}{2}\Rightarrow\hept{\begin{cases}x=\frac{a}{2}\\y=\frac{b}{2}\\z=\frac{c}{2}\end{cases};\left(a,b,c\ne0\right)}\)
Câu hỏi của Hacker Chuyên Nghiệp:tham khảo