cho a,b,c >0 thoa man a+b+c=3 cmr (a^2+2)(b^2+2)(c^2+2)>=a^2+b^2+c^2+24
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
T
12 tháng 11 2018
Ta sẽ chứng minh: \(\frac{a^2}{b}+\frac{b^2}{c}+\frac{c^2}{a}-3\left(a^2+b^2+c^2\right)\ge0\) (1)
Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz dạng Engel,ta có: \(\frac{a^2}{b}+\frac{b^2}{c}+\frac{c^2}{a}\ge\frac{a^2+b^2+c^2}{a+b+c}\) (2)
Mặt khác,ta cũng có: \(3\left(a^2+b^2+c^2\right)=\frac{3\left(a^2+b^2+c^2\right)\left(a+b+c\right)}{a+b+c}\)
Ta cần chứng minh \(a^2+b^2+c^2-3\left(a^2+b^2+c^2\right)\left(a+b+c\right)\ge0\) (3)
Thay a + b + c = 0 vào (1),ta cần chứng minh: \(a^2+b^2+c^2\ge0\)(luôn đúng) (4)
Từ (4) suy ra (3) đúng suy ra (2) đúng suy ra đcpm
BT
5 tháng 10 2016
Giả sử: \(c^2>a^2>b^2\)khi đó ta có:
\(\frac{b^2+c^2}{a^2+3}+\frac{c^2-a^2}{b^2+4^2}+\frac{a^2-b^2}{c^2+5}\le\frac{b^2+c^2}{b^2+3}+\frac{c^2-a^2}{b^2+3}+\frac{a^2-b^2}{b^2+3}=\frac{2c^2}{b^2+3}\le\frac{2}{3}.c^2\)
Như vậy ta có: \(a^2+b^2+c^2\le\frac{2}{3}.c^2\). Điều này xảy ra khi a = b = c.
DN
0
NN
0
T
0
PV
1
ML
11 tháng 7 2015
Áp dụng Côsi:
\(a^2+\left(\frac{19-\sqrt{37}}{12}\right)^2\ge2\sqrt{\left(\frac{19-\sqrt{37}}{12}\right)^2.a^2}=2.\frac{19-\sqrt{37}}{12}a\)
\(b^2+\left(\frac{19-\sqrt{37}}{12}\right)^2\ge2.\frac{19-\sqrt{37}}{12}b\)
\(c^3+\left(\frac{\sqrt{37}-1}{6}\right)^3+\left(\frac{\sqrt{37}-1}{6}\right)^3\ge3\sqrt[3]{\left(\frac{\sqrt{37}-1}{6}\right)^3\left(\frac{\sqrt{37}-1}{6}\right)^3.c^3}=3.\left(\frac{\sqrt{37}-1}{6}\right)^2c\)
\(\Rightarrow a^2+b^2+c^3+2\left(\frac{19-\sqrt{37}}{12}\right)^2+2\left(\frac{\sqrt{37}-1}{6}\right)^3\ge2.\frac{19-\sqrt{37}}{12}a+2.\frac{19-\sqrt{37}}{12}b+3.\left(\frac{\sqrt{37}-1}{6}\right)^2c\)
\(\Rightarrow a^2+b^2+c^3+2.\left(\frac{19-\sqrt{37}}{12}\right)^2+3.\left(\frac{\sqrt{37}-1}{6}\right)^3\ge\frac{19-\sqrt{37}}{6}\left(a+b+c\right)=\frac{19-\sqrt{37}}{2}\)
\(\Rightarrow a^2+b^2+c^3\ge\frac{19-\sqrt{37}}{2}-2.\left(\frac{19-\sqrt{37}}{12}\right)^2-2.\left(\frac{\sqrt{37}-1}{6}\right)^3\)
Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi \(a=b=\frac{19-\sqrt{37}}{12};\text{ }c=\frac{\sqrt{37}-1}{6}\)
Vậy GTNN của biệu thức là .......