Question

[Phương Anh]

CHứng minh rằng: \(3^{2n+1}\)+\(2^{n+2}\)chia hết cho 7 với mọi n thuộc N

Answer 1

[shitbo]

ns chung méo có ai gáy, sủa cả :3

Ta có:

3^2n+1 +  2^n+2

=(9^n).3  +( 2^n) .4

=(9^n).3 + 3(2^n) + 7(2^n)

=3(9^n-2^n) + 7(2^n) ( các bước này khá giống Phạm Bá Hoàng nhưng ko nghĩa là tớ copy bài cậu ý =))

Mà: 9^n - 2^n chia hết cho 7 ( vì 2 số này cùng chia 7 dư 2 nên mũ mấy lên cx cùng số dư khi chia cho 7)

Cụ thể hơn để mấy bạn khỏi cãi: tớ viết dấu = thay cho 3 gạch ngang nhé :3

Vì: 2=2(mod 7);9=2(mod 7)

=> 2^n=2^n(mod 7); 9^n=2^n(mod 7)

=> 3(9^n-2^n) chia hết cho 7 và 7(2^n) chia hết cho 7

nên 3^2n+1 +  2^n+2 chia hết cho 7 (đpcm)

có lẽ ko sai nx đâu nhỉ nếu sai ib vs =))

Answer 2

[tth_new]

Bài này cx easy thôi.Dùng phép quy nạp là ra:

\(3^{2n+1}+2^{n+2}=9^n.3+2^n.4\)

+)Với n = 0 thì \(9^n.3+2^n.4=3+4=7\Rightarrow\)mệnh đề đúng với n = 0. (1)

Giả sử mệnh đề đúng với n = k.Tức là \(9^k.3+2^k.4⋮7\) (2)

Ta c/m nó đúng với n = k + 1.Tức là cần c/m \(9^{k+1}.3+2^{k+1}.4⋮7\) (3)

\(\Leftrightarrow9^k.27+2^k.8⋮7\).Thật vậy:

\(9^k.27+2^k.8=9\left(9^k.3+2^k.4\right)-2^k.28\)

Do \(9\left(9^k.3+2^k.4\right)⋮7;2^k.28⋮7\)

Suy ra \(9\left(9^k.3+2^k.4\right)-2^k.28⋮7\)

Suy ra (3) đúng .

Vậy theo nguyên lí qui nạp,ta có đpcm.