Cho tam giác ABC có độ dài các cạnh là a, b, c. Cho các chiều cao tương ứng là ha, hb, hc. Biết rằng a+ha= b+hb = c +hc. CMR tam giác ABC đều
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
CH
Cô Hoàng Huyền
Admin
VIP
8 tháng 1 2018
Vẽ tam giác ABC với các chiều cao tương ứng là AH, BK, CG.
Ta có \(\Delta AHC\sim\Delta BKC\left(g-g\right)\Rightarrow\frac{AH}{BK}=\frac{AC}{BC}\Rightarrow\left(\frac{AH}{BK}\right)^2=\left(\frac{AC}{BC}\right)^2=\frac{AC^2}{BC^2}\)
Tương tự \(\Delta AHB\sim\Delta CGB\left(g-g\right)\Rightarrow\frac{AH}{CG}=\frac{AB}{BC}\Rightarrow\left(\frac{AH}{CG}\right)^2=\left(\frac{AB}{BC}\right)^2=\frac{AB^2}{BC^2}\)
Ta có \(\frac{1}{AH^2}=\frac{1}{BK^2}+\frac{1}{CG^2}\Leftrightarrow\frac{AH^2}{BK^2}+\frac{AH^2}{CG^2}=1\Leftrightarrow\frac{AB^2}{BC^2}+\frac{AC^2}{BC^2}=1\Leftrightarrow\frac{AB^2+AC^2}{BC^2}=1\)
\(\Leftrightarrow AB^2+AC^2=BC^2\Leftrightarrow\) tam giác ABC vuông tại A.
Gọi S là diện tích tam giác
\(a+h_a=b+h_b\)
\(\Leftrightarrow a+\dfrac{2S}{a}=b+\dfrac{2S}{b}\)
\(\Leftrightarrow\left(a-b\right)+2S\left(\dfrac{1}{a}-\dfrac{1}{b}\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\left(a-b\right)-\dfrac{2S\left(a-b\right)}{ab}=0\)
\(\Leftrightarrow\left(a-b\right)\left(1-\dfrac{2S}{ab}\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\left(a-b\right)\left(ab-2S\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}a=b\\ab=2S\end{matrix}\right.\)
Nếu ab = 2S thì tam giác ABC vuông. Như vậy khi chứng minh tương tự thì tam giác ABC có 2 góc vuông (vô lí).
Vậy a = b
Tương tự b = c
Suy ra a = b = c => đpcm