Chứng minh tồn tại số n sao cho (3^n -1) chia hết cho 10^6
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
NN
0
NN
0
FZ
1
13 tháng 8 2015
Gỉa sử tồn tại số tự nhiên n để 2010n - 1 chia hết cho 1010n - 1
Vì 2010 chia hết cho 3 nên 2010n chia hết cho 3 => 2010n - 1 không chia hết cho 3 => 1010n - 1 không chia hết cho 3
Mà 1010 đồng dư với -1 ( mod 3) => 1010n - 1 đồng dư với (-1)n - 1 (mod 3) => (-1)n - 1 khác 0 => n lẻ
+) Vì 1010n - 1 chia hết cho 1010 - 1 = 1009 nên 2010n - 1 chia hết cho 1009 Hay 2010n đồng dư với 1 ( mod 1009)
Gọi k là số nguyên dương nhỏ nhất mà 2010k đồng dư với 1 ( mod 1009) => n chia hết cho k Mà n lẻ nên k lẻ
+) Ta lại có: 1009 là số nguyên tố và nguyên tố cùng nhau với 2010. Theo ĐL Fermat nhỏ có: 20101008 đồng dư với 1 (mod 1009)
Vì k là số nguyên dương nhỏ nhất để 2010k đồng dư với 1 ( mod 1009) nên k là ước của 1008
1008 = 24.32. 7 Mà k lẻ nên k có thể bằng 3;7;9;21;27; 63
Thử các giá trị của k
Vì 2010 đồng dư với -8 (mod 1009) nên 20103 đồng dư với -512 (mod 1009) => Loại k = 3
tương tự với k = 7; 9 => Loại
20109 đồng dư với 89 (mod 1009) ; 89 đồng dư với 548 (mod 1009)
=> 201027 đồng dư với 5483 ( mod 1009); 5483 đồng dư với 710 ( mod 1009)
=> k = 27 Loại
Làm tương tự với k = 63 => Loại
Vậy không có giá trị nào của k thỏa mãn y/c => điều giả sử sai
=> Không tồn tại số tự nhiên n thỏa mãn y/ c
DA
1
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
9 tháng 3 2021
Xét bộ gồm 2016 số: \(2^1;2^2;...;2^{2016}\)
Do 2017 nguyên tố đồng thời \(2^k\) là lũy thừa của 1 số nguyên tố khác 2017 nên \(2^k\) ko chia hết 2017 với mọi k
Do đó tất cả các số trong bộ số nói trên đều ko chia hết 2017
- Nếu các số trong dãy trên chia 2017 có số dư đôi một khác nhau \(\Rightarrow\) có 2016 số dư \(\Rightarrow\) có đúng 1 số chia 2017 dư 1, giả sử đó là \(2^n\) thì \(2^n-1⋮2017\)
- Nếu tồn tại 2 số trong 2016 số trên có cùng số dư khi chia 2017 là \(2^i\) và \(2^j\) với \(1\le i< j\le2016\Rightarrow1\le j-i< 2016\)
\(\Rightarrow2^j-2^i⋮2017\)
\(\Rightarrow2^i\left(2^{j-i}-1\right)⋮2017\)
\(\Rightarrow2^{j-i}-1⋮2017\) (do \(2^i\) ko chia hết 2017)
\(\Rightarrow n=j-i\) thỏa mãn yêu cầu
27 tháng 8 2019
1) \(a^5-a=a\left(a^4-1\right)=a\left(a^2-1\right)\left(a^2+1\right)\)
\(=\left(a-1\right)a\left(a+1\right)\left(a^2-4+5\right)\)
\(=\left(a-1\right)a\left(a+1\right)\left(a^2-4\right)+5\left(a-1\right)a\left(a+1\right)\)
\(=\left(a-2\right)\left(a-1\right)a\left(a+1\right)\left(a+2\right)+5\left(a-1\right)a\left(a+1\right)⋮5\)
Vì \(\left(a-2\right)\left(a-1\right)a\left(a+1\right)\left(a+2\right)⋮5\)( tích 5 số nguyên liên tiếp chia hết cho 5)
và \(5\left(a-1\right)a\left(a+1\right)⋮5\)
=> \(a^5-a⋮5\)
Nếu \(a^5⋮5\)=> a chia hết cho 5