Question

[Lebenslehre]

Chuyên mục: BĐT Toán học #8

Ai trả lời đúng + chính xác sẽ được 10GP.

Question: Cho a,b,c là các số thực dương thỏa mãn \(a^2+b^2+c^2\ge3\). Tìm GTNN của:

\(P=\dfrac{a^2}{b+2c}+\dfrac{b^2}{c+2a}+\dfrac{c^2}{a+2b}\)

_Đầu tiên mời anh @tran nguyen bao quan cmt 10 cái lấy GP lần trước.

_Lâu không gặp mọi người, post quiz khỏi mọi người quên t.

_9/1 thi rồi, đăng lấy tinh thần cái nào.

#On the way to success, there is no trace of lazy men

#GudLuck

Answer 1

[Nguyễn Minh Huyền]

cái thể loại đi bình luận chửi dạo mới gọi là vừa lắm mồm vừa xàm :)

ai cũng có quyền nói, nói đúng thì không ai bảo gì đâu, nhưng mà, dell liên quan gì cũng thể hiện thì làm gì hơn ai :)

Answer 2

[Unruly Kid]

Sử dụng AM-GM, ta dễ dàng chứng minh được bất đẳng thức phụ sau:

\(\left(a^2+b^2+c^2\right)\left(a+b+c\right)\ge3\left(a^2b+b^2c+c^2a\right)\)

\(P=\sum\dfrac{a^4}{a^2b+2a^2c}\ge\dfrac{\left(a^2+b^2+c^2\right)^2}{\sum a^2b+2\sum a^2c}\)

\(\ge\dfrac{\left(a^2+b^2+c^2\right)^2}{\dfrac{\left(a^2+b^2+c^2\right)\sqrt{3\left(a^2+b^2+c^2\right)}}{3}+\dfrac{2\left(a^2+b^2+c^2\right)\sqrt{3\left(a^2+b^2+c^2\right)}}{3}}\)\(\ge1\)

GTNN là 1 khi \(a=b=c=\dfrac{1}{3}\)