Question

[Ha Thuong Nguyen]

Tìm hệ số lớn nhất trong khai triển sau (x⁵ + 1/2x²)⁷

Answer 1

[Nguyễn Anh]

Có \(\left(x^5+\dfrac{1}{2}x^2\right)^7=\sum\limits^7_{k=0}.C^k_7.x^{35-5k}.2^{-k}.x^{2k}\\ =\sum\limits^7_{k=0}.C^k_7.2^{-k}.x^{35-3k}\)
Tìm hệ số lớn nhất, tức là ta phải tìm giá trị lớn nhất của a_k = \(C^k_7.2^{-k}\) ( k ∈ { 0;1;2;3;4;5;6;7}
a_k+1 = \(C^{k+1}_7.2^{-k+1}\)(k ∈ {0;1;2;3;4;5;6}
+) Xét a_k < a_k+1 (k ∈ {0;1;2;3;4;5;6}
\(< =>C^k_7.2^{-k}< C^{k+1}_7.2^{-k+1}\\ < =>\dfrac{7!}{k!\left(7-k\right)!}< \dfrac{7!.2}{\left(k+1\right)!\left(6-k\right)!}\\ < =>\dfrac{1}{\left(7-k\right)}< \dfrac{2}{\left(k+1\right)}\\ < =>\left(k+1\right)< 14-2k\\ < =>k< 4,33\\ =>\left\{{}\begin{matrix}k< 4,33\\k\in0;1;2;3;4;5;6\\k\in N\end{matrix}\right.=>k\in0;1;2;3;4\)
Do đó: a₀ < a₁ < a₂ < a₃ < a₄ < a₅ (1)
+) Xét a_k > a_k+1
\(< =>\left(k+1\right)>14-2k\\ < =>k>4,33\\ =>\left\{{}\begin{matrix}k>4,33\\k\in0;1;2;3;4;5;6\\k\in N\end{matrix}\right.=>k\in5;6\)
Do đó a₅ > a₆ (2)
Từ (1) và (2) => giá trị lớn nhất của a₀ ; a₁ ; a₂ ;...; a₇ là a5.
Vậy hệ số lớn nhất trong khai triển là a₅