Cho a,b,c,d > 0.
Cmr: \(\dfrac{a^3}{a^3+3bcd}+\dfrac{b^3}{b^3+3cda}+\dfrac{c^3}{c^3+3dab}+\dfrac{d^3}{d^3+3abc}\ge1\)
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
BĐT mà ghi thiếu điều kiện thì chết rồi, vì số thực, số dương, số không âm nó hoạt động khác nhau lắm
Bunhiacopxki: \(\left(ac+bd\right)^2\le\left(a^2+b^2\right)\left(c^2+d^2\right)=\left(a^2+b^2\right)^4\)
\(\Rightarrow ac+bd\le\left(a^2+b^2\right)^2\)
Do đó:
\(\dfrac{a^3}{c}+\dfrac{b^3}{d}=\dfrac{a^4}{ac}+\dfrac{b^4}{bd}\ge\dfrac{\left(a^2+b^2\right)^2}{ac+bd}\ge\dfrac{\left(a^2+b^2\right)^2}{\left(a^2+b^2\right)^2}=1\) (đpcm)
Đề bài sai: phản ví dụ:
\(a=b=-1\) ; \(c=d=2\)
Khi đó: \(c^2+d^2=\left(a^2+b^2\right)^3\) nhưng \(\dfrac{a^3}{c}+\dfrac{b^3}{d}=-1< 1\)
Đặt A=\(\sum\dfrac{a^3}{a+2b^3}\)
Ta có \(a^3+1+1\ge3a\Rightarrow a\le\dfrac{a^3+2}{3}\)\(\Rightarrow\sum\dfrac{a^3}{a+2b^3}\ge\sum\dfrac{a^3}{\dfrac{a^3+2}{3}+2b^3}=\sum\dfrac{3a^3}{a^3+6b^3+2}\)
Đặt \(a^3=x;b^3=y;c^3=z,taco:x+y+z\ge3\)
Mà A=\(3\left(\sum\dfrac{x}{x+6y+2}\right)=3\left(\sum\dfrac{x^2}{x^2+6xy+2x}\right)\ge3\dfrac{\left(x+y+z\right)^2}{\sum x^2+\sum6xy+2\left(x+y+z\right)}=\dfrac{\left(x+y+z\right)^2}{\left(x+y+z\right)^2+4\left(xy+yz+zx\right)+2\left(x+y+z\right)}\)
Mà \(xy+yz+zx\le\dfrac{\left(x+y+z\right)^2}{3}\), đặt x+y+z=m
Ta có \(A\ge\dfrac{3m^2}{m^2+\dfrac{4}{3}m^2+m}\), cần \(\dfrac{3m^2}{\dfrac{7}{3}m^2+2m}\ge1\Leftrightarrow3m^2\ge\dfrac{7}{3}m^2+2m\Leftrightarrow\dfrac{2}{3}m\ge2\Leftrightarrow m\ge1\left(LĐ\right)\)
=> BDT cần chứng minh luôn đúng
dấu = xảy ra <=> a=b=c=1
Lời giải:
Vì \(\frac{a}{c}=\frac{c}{b}=\frac{b}{d}\)
\(\Rightarrow \frac{a^3}{c^3}=\frac{c^3}{b^3}=\frac{b^3}{d^3}=\frac{a^3+c^3-b^3}{c^3+b^3-d^3}(1)\) (theo tính chất dãy tỉ số bằng nhau)
Mặt khác:
\(\frac{a}{c}=\frac{c}{b}=\frac{b}{d}\Rightarrow \frac{a}{c}.\frac{a}{c}.\frac{a}{c}=\frac{a}{c}.\frac{c}{b}.\frac{b}{d}\)
Hay \(\frac{a^3}{c^3}=\frac{a}{d}(2)\)
Từ \((1);(2)\Rightarrow \frac{a^3+c^3-b^3}{c^3+b^3-d^3}=\frac{a}{d}\) (đpcm)
Cho \(\dfrac{a}{c}=\dfrac{c}{b}=\dfrac{b}{d}\)
CMR:\(\dfrac{a^3+c^3-b^3}{c^3+b^3-d^3}=\dfrac{a}{d}\)
Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta có:
\(\dfrac{a}{c}=\dfrac{c}{b}=\dfrac{b}{d}=\dfrac{a^3}{c^3}=\dfrac{c^3}{b^3}=\dfrac{b^3}{d^3}=\dfrac{a^3+c^3-b^3}{c^3+b^3-d^3}\left(1\right)\)
Từ \(\dfrac{a}{c}=\dfrac{c}{b}=\dfrac{b}{d}\)
Ta xét tích: \(\left(\dfrac{a}{c}\right)^3=\dfrac{a}{c}.\dfrac{a}{c}.\dfrac{a}{c}=\dfrac{a}{c}.\dfrac{c}{b}.\dfrac{b}{d}=\dfrac{a}{d}\left(2\right)\)
Từ (1) và (2) \(\Rightarrow\dfrac{a^3+c^3-b^3}{c^3+b^3-d^3}=\dfrac{a}{d}\left(dpcm\right)\)
Ta có: \(\dfrac{a}{b}=\dfrac{c}{d}\Rightarrow\dfrac{a}{c}=\dfrac{b}{d}\)
Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta có:
\(\dfrac{a}{c}=\dfrac{b}{d}=\dfrac{a+b}{c+d}\)
\(\Rightarrow\dfrac{\left(a+b\right)^3}{\left(c+d\right)^3}=\dfrac{a^3}{c^3}=\dfrac{b^3}{d^3}\)(1)
Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta có:
\(\dfrac{a^3}{c^3}=\dfrac{b^3}{d^3}=\dfrac{a^3+b^3}{c^3+d^3}\)(2)
Từ (1) và (2) \(\Rightarrow\) đpcm
\(\dfrac{a^3}{b\left(c+2\right)}+\dfrac{b}{3}+\dfrac{c+2}{9}\ge3\sqrt[3]{\dfrac{a^3b\left(b+2\right)}{27b\left(c+2\right)}}=a\)
Tương tự: \(\dfrac{b^3}{c\left(a+2\right)}+\dfrac{c}{3}+\dfrac{a+2}{9}\ge b\)
\(\dfrac{c^3}{a\left(b+2\right)}+\dfrac{a}{3}+\dfrac{b+2}{9}\ge c\)
Cộng vế:
\(VT+\dfrac{4\left(a+b+c\right)}{9}+\dfrac{2}{3}\ge a+b+c\)
\(\Rightarrow VT\ge\dfrac{5\left(a+b+c\right)}{9}-\dfrac{2}{3}\ge\dfrac{15}{9}-\dfrac{2}{3}=1\)
Sửa: CMR \(\dfrac{a^3+c^3+m^3}{b^3+d^3+n^3}=\left(\dfrac{a+c-m}{b+d-n}\right)^3\)
Đặt \(\dfrac{a}{b}=\dfrac{c}{d}=\dfrac{m}{n}=k\Rightarrow a=kb;c=kd;m=kn\)
\(\dfrac{a^3+c^3+m^3}{b^3+d^3+n^3}=\dfrac{k^3b^3+k^3d^3+k^3n^3}{b^3+d^3+n^3}=\dfrac{k^3\left(b^3+d^3+n^3\right)}{b^3+d^3+n^3}=k^3\)
\(\left(\dfrac{a+c-m}{b+d-m}\right)^3=\left(\dfrac{kb+kd-kn}{b+d-n}\right)^3=\left(\dfrac{k\left(b+d-n\right)}{b+d-n}\right)^3=k^3\)
\(\Rightarrow\dfrac{a^3+c^3+m^3}{b^3+d^3+n^3}=\left(\dfrac{a+c-m}{b+d-n}\right)^3\left(=k^3\right)\)