Cho a,b,c là 3 số không âm thỏa mãn a+b+c=4 Chứng minh \(\sqrt{a\left(b+2c\right)}+\sqrt{b\left(c+2a\right)}+\sqrt{c\left(a+2b\right)}\le4\sqrt{3}\)
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
14 tháng 12 2019
có cả mấy bất đẳng thức đó hả
bn viết công thức tổng quát ra cho mk vs
mk thanks
KL
3 tháng 3 2020
Nè bạn :)
Ta có : \(2ab+2ac\ge4a\sqrt{bc}\) (Cauchy_)
\(\Rightarrow a^2+2ab+2ac+4bc\ge a^2+4a\sqrt{bc}+4bc\)
\(\Rightarrow a^2+2ab+2ac+4bc\ge\left(a+2\sqrt{bc}\right)^2\)
\(\Rightarrow\sqrt{\left(a+2b\right)\left(a+2c\right)}\ge a+2\sqrt{bc}\)\(\left(1\right)\)
Tương tự : \(\sqrt{\left(b+2a\right)\left(b+2c\right)}\ge b+2\sqrt{ac}\)\(\left(2\right)\)
\(\sqrt{\left(c+2a\right)\left(c+2b\right)}\ge c+2\sqrt{ab}\)\(\left(3\right)\)
Từ \(\left(1\right);\left(2\right);\left(3\right)\)\(\Rightarrow\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}\right)^2\ge3\)
\(\Rightarrow\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}\ge\sqrt{3}\)
Đẳng thức xảy ra khi \(a=b=c=\frac{1}{\sqrt{3}}\)
Thay vào biểu thức M ta được M = \(\frac{\sqrt{3}}{3}\)
5 tháng 1 2018
b+c\(\ge\) \(2\sqrt{bc}\)
(a+2b)(a+2c) =\(a^2 +2ac+2ab+ 4bc= a^2+2a(b+c) +4bc\)
\(\ge\)\(a^2+4a.\sqrt{bc}+4bc=\left(a+2\sqrt{bc}\right)^2\)
\(=>\sqrt{\left(a+2b\right)\left(a+2c\right)}=a+2\sqrt{bc}\)
tương tự: \(\sqrt{\left(b+2a\right)\left(b+2c\right)}=b+2\sqrt{ac}\)
\(\sqrt{\left(c+2a\right)\left(c+2b\right)}=c+2\sqrt{ab}\)
\(=>\sqrt{\left(a+2b\right)\left(a+2c\right)}+\sqrt{\left(b+2a\right)\left(b+2c\right)}+\sqrt{\left(c+2b\right)\left(c+2a\right)}\ge a+b+c+2\sqrt{ab}+2\sqrt{bc}+2\sqrt{ac}=\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}\right)^2=3\)
khi a=b=c ( a,b,c nguyên dương nên a+b+c>0)
=> \(3\sqrt{a}=\sqrt{3}=>\sqrt{a}=\sqrt{b}=\sqrt{c}=\dfrac{\sqrt{3}}{3}\)
Thay vào M=\(\dfrac{1}{3}\)
7 tháng 1 2018
\(\sqrt{a^2+2ac+2ab+4bc}\) + \(\sqrt{b^2+2bc+2ab+4ac}\) + \(\sqrt{c^2+2bc+2ac+4ab}\) =3
Haizzz mọi người ra chưa?
Áp dụng BĐT AM-GM ta có:
\(\sqrt{a\left(b+2c\right)}=\frac{\sqrt{3a\left(b+2c\right)}}{\sqrt{3}}\le\frac{\frac{3a+b+2c}{2}}{\sqrt{3}}=\frac{3a+b+2c}{2\sqrt{3}}\)
Tương tự ta cũng có:\(\sqrt{b\left(c+2a\right)}\le\frac{3b+c+2a}{2\sqrt{3}}\)
\(\sqrt{c\left(a+2b\right)}\le\frac{3c+a+2b}{2\sqrt{3}}\)
Cộng theo vế các BĐT lại ta được:
\(VT\le\frac{3a+b+2c}{2\sqrt{3}}+\frac{3b+c+2a}{2\sqrt{3}}+\frac{3c+a+2b}{2\sqrt{3}}=\frac{6a+6b+6c}{2\sqrt{3}}=\frac{6.4}{2\sqrt{3}}=4\sqrt{3}\)
Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c=\frac{4}{3}\)