Cho x,y,z,t là bốn số dương nhỏ hơn 1 thỏa mãn điều kiện:xyzt=(1−x)(1−y)(1−z)(1−t)CMR: \(x^2+y^2+z^2+t^2\ge1\)
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
N
16 tháng 12 2018
Ta có:\(xyzt=\left(1-x\right)\left(1-y\right)\left(1-z\right)\left(1-t\right)\Rightarrow\dfrac{1-x}{x}.\dfrac{1-y}{y}.\dfrac{1-z}{z}\dfrac{1-t}{t}=1\)
Đặt \(\left(\dfrac{1-x}{x},\dfrac{1-y}{y},\dfrac{1-z}{z},\dfrac{1-t}{t}\right)\rightarrow\left(a,b,c,d\right)\) \(\Rightarrow abcd=1\)
Cần chứng minh \(\dfrac{1}{\left(a+1\right)^2}+\dfrac{1}{\left(b+1\right)^2}+\dfrac{1}{\left(c+1\right)^2}+\dfrac{1}{\left(d+1\right)^2}\ge1\)
Bổ đề: \(\dfrac{1}{\left(m+1\right)^2}+\dfrac{1}{\left(n+1\right)^2}\ge\dfrac{1}{mn+1}\) (*)
#cm: Áp dụng BĐT Bunyakovsky:
\(\left(mn+1\right)\left(\dfrac{m}{n}+1\right)\ge\left(m+1\right)^2\Rightarrow\dfrac{1}{\left(m+1\right)^2}\ge\dfrac{\dfrac{n}{m+n}}{mn+1}\)
Tương tự: \(\dfrac{1}{\left(n+1\right)^2}\ge\dfrac{\dfrac{m}{m+n}}{mn+1}\). Cộng theo vế ta có đpcm.
Quay lại bài toán: \(VT\ge\dfrac{1}{ab+1}+\dfrac{1}{cd+1}=\dfrac{1}{\dfrac{1}{cd}+1}+\dfrac{1}{cd+1}=1\)
Vậy ta có đpcm. Dấu =xảy ra khi a=b=c=d=1 hay \(x=y=z=t=\dfrac{1}{2}\)
AH
Akai Haruma
Giáo viên
22 tháng 9 2021
Lời giải:
Áp dụng BĐT AM-GM:
$x^3+1=(x+1)(x^2-x+1)\leq \left(\frac{x+1+x^2-x+1}{2}\right)^2=\frac{(x^2+2)^2}{4}$
$\Rightarrow \sqrt{x^3+1}\leq \frac{x^2+2}{2}$
$\Rightarrow \frac{1}{\sqrt{x^3+1}}\geq \frac{2}{x^2+2}$. Tương tự với các phân thức khác và cộng theo vế:
$\sum \frac{1}{\sqrt{x^3+1}}\geq 2\sum \frac{1}{x^2+2}$
Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz:
$\sum \frac{1}{x^2+2}\geq \frac{9}{x^2+y^2+z^2+6}=\frac{9}{12+6}=\frac{1}{2}$
$\Rightarrow \sum \frac{1}{\sqrt{x^3+1}}\geq 2.\frac{1}{2}=1$
Ta có đpcm
Dấu "=" xảy ra khi $x=y=z=2$
15 tháng 11 2015
\(\frac{x^2}{y+z}+\frac{y^2}{z+x}+\frac{z^2}{x+y}\ge\frac{\left(x+y+x\right)^2}{y+z+z+x+x+y}=\frac{x+y+x}{2}=1\)
Dấu ' =' xảy ra khi \(x=y=z=\frac{2}{3}\)
DF
1
14 tháng 1 2021
Ta có x + y + z = 1 nên z = 1 - x - y.
Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương:
\(\dfrac{\sqrt{xy+z\left(x+y+z\right)}+\sqrt{2x^2+2y^2}}{1+\sqrt{xy}}\ge1\)
\(\Leftrightarrow\sqrt{\left(z+x\right)\left(z+y\right)}+\sqrt{2x^2+2y^2}\ge1+\sqrt{xy}\).
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy - Schwarz:
\(\left(z+x\right)\left(z+y\right)\ge\left(\sqrt{z}.\sqrt{z}+\sqrt{x}.\sqrt{y}\right)^2=\left(z+\sqrt{xy}\right)^2\)
\(\Rightarrow\sqrt{\left(z+x\right)\left(z+y\right)}\ge z+\sqrt{xy}=\sqrt{xy}-x-y+1\); (1)
\(\sqrt{2x^2+2y^2}=\sqrt{\left(1+1\right)\left(x^2+y^2\right)}\ge x+y\). (2)
Cộng vế với vế của (1), (2) ta có đpcm.
CM
26 tháng 7 2019
Ta có:
4 A = ( x + y + z + t ) 2 ( x + y + z ) ( x + y ) x y z t ≥ 4 ( x + y + z ) t ( x + y + z ) ( x + y ) x y z t = 4 ( x + y + z ) 2 ( x + y ) x y z ≥ 4.4 ( x + y ) z ( x + y ) x y z = 16 ( x + y ) 2 x y ≥ 16.4 x y x y ≥ 64 ⇒ A ≥ 16
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x + y + z + t = 2 x + y + z = t x + y = z x = y ⇔ x = y = 1 4 z = 1 2 t = 1
11 tháng 2 2021
Áp dụng bđt AM-GM ta có :
\(\Rightarrow\dfrac{x^2}{y+z}+\dfrac{y^2}{x+z}+\dfrac{z^2}{x+y}\ge\dfrac{\left(x+y+z\right)^2}{y+z+x+z+x+y}=\dfrac{\left(x+y+z\right)^2}{2\left(x+y+z\right)}=\dfrac{x+y+z}{2}=\dfrac{2}{2}=1\) (do x+y+z=2)
Vậy ....
11 tháng 2 2021
Áp dụng bđt Cô-si vào các số x,y,z dương:
\(\dfrac{x^2}{y+z}+\dfrac{y+z}{4}\ge2\sqrt{\dfrac{x^2}{y+z}\cdot\dfrac{y+z}{4}}=x\)
Chứng minh tương tự :\(\dfrac{y^2}{x+z}+\dfrac{x+z}{4}\ge y\) , \(\dfrac{z^2}{x+y}+\dfrac{x+y}{4}\ge z\)
\(\Rightarrow\dfrac{x^2}{y+z}+\dfrac{y^2}{x+z}+\dfrac{z^2}{x+y}+\dfrac{1}{2}\left(x+y+z\right)\ge x+y+z\)
\(\Rightarrow\dfrac{x^2}{y+z}+\dfrac{y^2}{x+z}+\dfrac{z^2}{x+y}\ge\dfrac{1}{2}\left(x+y+z\right)=1\)
Dấu bằng xảy ra của cả 2 cách là x=y=z=\(\dfrac{2}{3}\)
Theo giả thiết cho: \(xyzt=\left(1-x\right)\left(1-y\right)\left(1-z\right)\left(1-t\right)\)
\(\Rightarrow\frac{1-x}{x}.\frac{1-y}{y}.\frac{1-z}{z}.\frac{1-t}{t}=1\)
Đặt \(\left(\frac{1-x}{x},\frac{1-y}{y},\frac{1-z}{z},\frac{1-t}{t}\right)\rightarrow\left(a,b,c,d\right)\). Lúc đó thì giả thiết được viết lại thành abcd = 1
Ta có: \(a=\frac{1-x}{x}=\frac{1}{x}-1\Rightarrow x=\frac{1}{a+1}\Rightarrow x^2=\frac{1}{\left(a+1\right)^2}\)
Tương tự, ta có: \(y^2=\frac{1}{\left(b+1\right)^2};z^2=\frac{1}{\left(c+1\right)^2};t^2=\frac{1}{\left(d+1\right)^2}\)và khi đó ta cần chứng minh:\(\frac{1}{\left(a+1\right)^2}+\frac{1}{\left(b+1\right)^2}+\frac{1}{\left(c+1\right)^2}+\frac{1}{\left(d+1\right)^2}\ge1\)
Ta có BĐT phụ sau: \(\frac{1}{\left(p+1\right)^2}+\frac{1}{\left(q+1\right)^2}\ge\frac{1}{pq+1}\)(*)
Thật vậy, theo BĐT Cauchy-Schwarz cho hai dãy số (pq;1) và \(\left(\frac{p}{q};1\right)\), ta có: \(\left(pq+1\right)\left(\frac{p}{q}+1\right)\ge\left(p+1\right)^2\)
\(\Rightarrow\frac{1}{\left(p+1\right)^2}\ge\frac{\frac{q}{p+q}}{pq+1}\)(1)
Tương tự ta có: \(\Rightarrow\frac{1}{\left(q+1\right)^2}\ge\frac{\frac{p}{p+q}}{pq+1}\)(2)
Cộng theo vế của 2 BĐT (1) và (2), ta được:
\(\frac{1}{\left(p+1\right)^2}+\frac{1}{\left(q+1\right)^2}\ge\frac{1}{pq+1}\)(đúng với (*))
Áp dụng vào bài toán, ta được:
\(\frac{1}{\left(a+1\right)^2}+\frac{1}{\left(b+1\right)^2}+\frac{1}{\left(c+1\right)^2}+\frac{1}{\left(d+1\right)^2}\ge\frac{1}{ab+1}+\frac{1}{cd+1}\)
\(=\frac{1}{\frac{1}{cd}+1}+\frac{1}{cd+1}=\frac{cd}{cd+1}+\frac{1}{cd+1}=1\)
Đẳng thức xảy ra khi \(a=b=c=d=1\)hay x = y = z = t = \(\frac{1}{2}\)
22222222222222222222222