Cho x,y,z >0 thoả mãn: x+y+z=1. Tìm Mã, Min: P=\(\sqrt{1+5x}+\sqrt{1+5y}+\sqrt{1+5z}\)
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
30 tháng 12 2021
\(5x^2+2xy+2y^2-\left(4x^2+4xy+y^2\right)=\left(x-y\right)^2\ge0\\ \Leftrightarrow5x^2+2xy+2y^2\ge4x^2+4xy+y^2=\left(2x+y\right)^2\)
\(\Leftrightarrow P\le\dfrac{1}{2x+y}+\dfrac{1}{2y+z}+\dfrac{1}{2z+x}=\dfrac{1}{9}\left(\dfrac{9}{x+x+y}+\dfrac{9}{y+y+z}+\dfrac{9}{z+z+x}\right)\\ \Leftrightarrow P\le\dfrac{1}{9}\left(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z}+\dfrac{1}{z}+\dfrac{1}{z}+\dfrac{1}{x}\right)\\ \Leftrightarrow P\le\dfrac{1}{9}\left(\dfrac{3}{x}+\dfrac{3}{y}+\dfrac{3}{z}\right)=\dfrac{1}{3}\left(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z}\right)=1\)
Dấu \("="\Leftrightarrow x=y=z=1\)
PN
13 tháng 5 2021
Đặt \(\sqrt{x};\sqrt{y};\sqrt{z}\rightarrow a,b,c\), ta có : \(a+b+c=1\)
Tìm min của \(A=\frac{ab}{\sqrt{5a^2+32ab+12b^2}}+\frac{bc}{\sqrt{5b^2+32bc+12c^2}}+\frac{ca}{\sqrt{5c^2+32ca+12a^2}}\)
đến đây thấy giống giống bài bất của HN năm nào ấy nhỉ ?
13 tháng 1 2018
cm bđt phụ \(5x^2+6xy+5y^2\ge4\left(x+y\right)^2\)nhé
KN
12 tháng 7 2020
Ta có: \(\sqrt{5x^2+6xy+5y^2}=\sqrt{4\left(x+y\right)^2+\left(x-y\right)^2}\ge\sqrt{4\left(x+y\right)^2}=2\left(x+y\right)\)
\(\Rightarrow\frac{\sqrt{5x^2+6xy+5y^2}}{x+y+2z}\ge\frac{2\left(x+y\right)}{x+y+2z}\)(1)
Tương tự, ta có: \(\frac{\sqrt{5y^2+6yz+5z^2}}{y+z+2x}\ge\frac{2\left(y+z\right)}{y+z+2x}\)(2); \(\frac{\sqrt{5z^2+6zx+5x^2}}{z+x+2y}\ge\frac{2\left(z+x\right)}{z+x+2y}\)(3)
Cộng theo vế của 3 BĐT (1), (2), (3), ta được: \(\frac{\sqrt{5x^2+6xy+5y^2}}{x+y+2z}+\frac{\sqrt{5y^2+6yz+5z^2}}{y+z+2x}+\frac{\sqrt{5z^2+6zx+5x^2}}{z+x+2y}\)\(\ge2\left[\frac{x+y}{\left(y+z\right)+\left(z+x\right)}+\frac{y+z}{\left(z+x\right)+\left(x+y\right)}+\frac{z+x}{\left(x+y\right)+\left(y+z\right)}\right]\)
Đặt \(x+y=a;y+z=b;z+x=c\)thì \(\frac{x+y}{\left(y+z\right)+\left(z+x\right)}+\frac{y+z}{\left(z+x\right)+\left(x+y\right)}+\frac{z+x}{\left(x+y\right)+\left(y+z\right)}\)\(=\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}+\frac{c}{a+b}\)
Nhưng ta có BĐT Nesbitt quen thuộc sau: \(\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}+\frac{c}{a+b}\ge\frac{3}{2}\)
Thật vậy: 
(Bài này mình đã làm nhiều rồi nha nên ngại đánh lại, đây là bất đẳng thức có rất nhiều cách chứng minh nhưng mình nghĩ dồn biến là cách hay và đẹp nhất nha! Có thể tham khảo nhiều cách khác trên mạng, vô thống kê hỏi đáp của mình xem ảnh)
Như vậy: \(\frac{\sqrt{5x^2+6xy+5y^2}}{x+y+2z}+\frac{\sqrt{5y^2+6yz+5z^2}}{y+z+2x}+\frac{\sqrt{5z^2+6zx+5x^2}}{z+x+2y}\)\(\ge2\left[\frac{x+y}{\left(y+z\right)+\left(z+x\right)}+\frac{y+z}{\left(z+x\right)+\left(x+y\right)}+\frac{z+x}{\left(x+y\right)+\left(y+z\right)}\right]\)\(\ge2.\frac{3}{2}=3\)
Đẳng thức xảy ra khi x = y = z
C
17 tháng 2 2020
\(RHS\ge\frac{\left(x+y+z\right)^2}{\sqrt{5x^2+2xy+y^2}+\sqrt{5y^2+2yz+z^2}+\sqrt{5z^2+2zx+x^2}}\)
Thử chứng minh \(\sqrt{5x^2+2xy+y^2}\le\frac{3\sqrt{2}}{2}x+\frac{\sqrt{2}}{2}y\) cái này xem sao
khi đó:
\(RHS\ge\frac{9}{\frac{3\sqrt{2}}{2}\left(x+y+z\right)+\frac{\sqrt{2}}{2}\left(x+y+z\right)}=\frac{3}{2\sqrt{2}}\)
Dấu "=" xảy ra tại x=y=z=1
20 tháng 2 2020
Cần chứng minh BĐT sau : \(\frac{x^2}{\sqrt{5x^2+2xy+y^2}}\ge\frac{5x-y}{8\sqrt{2}}\)
\(\Leftrightarrow8\sqrt{2}x^2\ge\left(5x-y\right)\sqrt{5x^2+2xy+y^2}\) ( 1 )
Xét 5x - y \(\le\)0 \(\Rightarrow\)VT \(\ge\)0 ; VP \(\le\)0 \(\Rightarrow\)BĐT đã được chứng minh
Xét 5x - y \(\ge\)0 . Bình phương 2 vế của ( 1 ), ta được :
\(128x^4\ge\left(25x^2-10xy+y^2\right)\left(5x^2+2xy+y^2\right)\)
\(\Leftrightarrow128x^4\ge125x^4+10x^2y^2-8xy^3+y^4\)
\(\Leftrightarrow3x^4-10x^2y^2+8xy^3-y^4\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(3x^4-3xy^3\right)+\left(10xy^3-10x^2y^2\right)+\left(xy^3-y^4\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow3x\left(x-y\right)\left(x^2+xy+y^2\right)+10xy^2\left(y-x\right)+y^3\left(x-y\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(x-y\right)\left(3x^3+3x^2y+3xy^2-10xy^2+y^3\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(x-y\right)\left[\left(3x^3-3xy^2\right)+\left(3x^2y-3xy^2\right)-\left(xy^2-y^3\right)\right]\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(x-y\right)^2\left(3x^2+6xy-y^2\right)\ge0\)( luôn đúng )
( Vì \(5x-y\ge0\Rightarrow x\ge\frac{y}{5}\)\(\Rightarrow3x^2+6xy-y^2\ge3.\left(\frac{y}{5}\right)^2+6.\frac{y}{5}.y-y^2=\frac{8}{25}y^2\ge0\))
Tương tự : \(\frac{y^2}{\sqrt{5y^2+2yz+z^2}}\ge\frac{5y-z}{8\sqrt{2}}\); \(\frac{z^2}{\sqrt{5z^2+2xz+x^2}}\ge\frac{5z-x}{8\sqrt{2}}\)
Cộng từng vế 3 BĐT lại với nhau, ta được :
\(\frac{x^2}{\sqrt{5x^2+2xy+y^2}}+\frac{y^2}{\sqrt{5y^2+2yz+z^2}}+\frac{z^2}{\sqrt{5z^2+2xz+x^2}}\)
\(\ge\frac{5x-z+5y-z+5z-x}{8\sqrt{2}}=\frac{4\left(x+y+z\right)}{8\sqrt{2}}=\frac{3}{2\sqrt{2}}\)
Dấu "=' xảy ra khi x = y = z = 1
Vậy BĐT đã được chứng minh
AH
Akai Haruma
Giáo viên
29 tháng 6
Lời giải:
Với những điều kiện đề cho, biểu thức P chỉ có max bạn nhé.
Áp dụng BĐT Bunhiacopxky:
\(P^2=(\sqrt{5x+4}+\sqrt{5y+4}+\sqrt{5z+4})^2\leq (5x+4+5y+4+5z+4)(1+1+1)\\ \Leftrightarrow P^2\leq 3[5(x+y+z)+12]=51\\ \Rightarrow P\leq \sqrt{51}\)
Vậy $P_{\max}=\sqrt{51}$.
Giá trị này đạt tại $x=y=z=\frac{1}{3}$
AH
Akai Haruma
Giáo viên
16 tháng 3 2018
Lời giải:
Ta có: \(5x^2+6xy+5y^2=3(x^2+y^2+2xy)+2(x^2+y^2)\)
\(=3(x+y)^2+2(x^2+y^2)\geq 3(x+y)^2+(x+y)^2\) (theo BĐT AM-GM)
\(\Leftrightarrow 5x^2+6xy+5y^2\geq 4(x+y)^2\Rightarrow \sqrt{5x^2+6xy+5y^2}\geq 2(x+y)\)
Thực hiện tương tự với những biểu thức còn lại suy ra:
\(P\geq \frac{2(x+y)}{x+y+2z}+\frac{2(y+z)}{y+z+2x}+\frac{2(z+x)}{z+x+2y}\)
\(P\geq 2\left(\frac{x+y}{x+y+2z}+\frac{y+z}{y+z+2x}+\frac{z+x}{z+x+2y}\right)=2\left(\frac{(x+y)^2}{(x+y+2z)(x+y)}+\frac{(y+z)^2}{(y+z+2x)(y+z)}+\frac{(z+x)^2}{(z+x+2y)(z+x)}\right)\)
Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz:
\(P\geq 2.\frac{(x+y+y+z+z+x)^2}{(x+y+2z)(x+y)+(y+z+2x)(y+z)+(z+x+2y)(z+x)}\)
\(\Leftrightarrow P\geq 2. \frac{4(x+y+z)^2}{2(x+y+z)^2+2(xy+yz+xz)}=\frac{4(x+y+z)^2}{(x+y+z)^2+xy+yz+xz}\)
\(\geq \frac{4(x+y+z)^2}{(x+y+z)^2+\frac{(x+y+z)^2}{3}}=3\) (theo AM-GM \(xy+yz+xz\leq \frac{(x+y+z)^2}{3}\))
Vậy \(P\geq 3\Leftrightarrow P_{\min}=3\)
Dấu bằng xảy ra khi \(x=y=z\)