Cho : (a - b)2 + (b - c)2 + (c - a)2 = 3.(a2 + b2 + c2 - ab - bc ac). Chứng minh rằng : a=b=c
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
NT
2
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
17 tháng 9 2021
Kẻ đường cao BD ứng với AC. Do góc A tù \(\Rightarrow\) D nằm ngoài đoạn thẳng AC hay \(CD=AD+AC\) và \(\widehat{DAB}=180^0-120^0=60^0\)
Áp dụng định lý Pitago:
\(AB^2=BD^2+AD^2\) \(\Rightarrow BD^2=AB^2-AD^2\)
Trong tam giác vuông ABD:
\(cos\widehat{BAD}=\dfrac{AD}{AB}\Rightarrow\dfrac{AD}{AB}=cos60^0=\dfrac{1}{2}\Rightarrow AD=\dfrac{1}{2}AB\)
\(\Rightarrow BD^2=AB^2-\left(\dfrac{1}{2}AB^2\right)=\dfrac{3}{4}AB^2\)
Pitago tam giác BCD:
\(BC^2=BD^2+CD^2=\dfrac{3}{4}AB^2+\left(AD+AC\right)^2\)
\(=\dfrac{3}{4}AB^2+\left(\dfrac{1}{2}AB+AC\right)^2\)
\(=\dfrac{3}{4}AB^2+\dfrac{1}{4}AB^2+AB.AC+AC^2\)
\(=AB^2+AB.AC+AC^2\)
Hay \(a^2=b^2+c^2+bc\)
HN
1
20 tháng 8 2023
Ta có :
\(\left(a-b-c\right)^2=a^2+b^2+c^2-2ab-2bc-2ac\)
mà theo đề bài \(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ac=0\)
\(\Rightarrow\left(a-b-c\right)^2=-ab-bc-ac=0\)
\(\Rightarrow\left(a-b-c\right)^2=-\left(ab+bc+ac\right)=0\)
mà \(-\left(ab+bc+ac\right)\le0\)
\(\Rightarrow a=b=c=0\)
\(\Rightarrow dpcm\)
D
0
NM
1
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
12 tháng 12 2020
\(\left(a+b+c\right)^2=a^2+b^2+c^2\Leftrightarrow ab+bc+ca=0\)
\(\Rightarrow a^3b^3+b^3c^3+c^3a^3=3a^2b^2c^2\)
Ta có:
\(\dfrac{bc}{a^2}+\dfrac{ac}{b^2}+\dfrac{ab}{c^2}=\dfrac{a^3b^3+b^3c^3+c^3a^3}{a^2b^2c^2}=\dfrac{3a^2b^2c^2}{a^2b^2c^2}=3\)
6 tháng 1 2022
a: \(\Leftrightarrow\left(a+1\right)^2-4a\ge0\)
hay \(\left(a-1\right)^2>=0\)(luôn đúng)
b: \(VT=a^2c^2+2abcd+b^2d^2+a^2d^2-2abcd+b^2c^2\)
\(=a^2\left(c^2+d^2\right)+b^2\left(c^2+d^2\right)\)
\(=\left(c^2+d^2\right)\left(a^2+b^2\right)=VP\)
với x, y, z > 0.
Mn giúp em với ;-;
(a - b)2 + (b - c)2 + (c - a)2 = 3(a2 + b2 + c2 - ab - bc - ca)
<=> (a - b)2 + (b - c)2 + (c - a)2 = \(\dfrac{3}{2}\)(2a2 + 2b2 + 2c2 - 2ab - 2bc - 2ca)
<=> (a - b)2 + (b - c)2 + (c - a)2 = \(\dfrac{3}{2}\)[(a2 - 2ab + b2) + (b2 - 2bc + c2) + (c2 - 2ca + a2)]
<=> (a - b)2 + (b - c)2 + (c - a)2 = \(\dfrac{3}{2}\)[(a - b)2 + (b - c)2 + (c - a)2]
<=> \(\dfrac{1}{2}\)[(a - b)2 + (b - c)2 + (c - a)2] = 0
<=> a = b = c
Cách 2 :
\(\left(a-b\right)^2+\left(b-c\right)^2+\left(c-a\right)^2=3\left(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ac\right)\)
\(\Leftrightarrow a^2-2ab+b^2+b^2-2bc+c^2+c^2-2ac+a^2=3\left(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ac\right)\)
\(\Leftrightarrow2\left(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ac\right)=3\left(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ac\right)\)
\(\Leftrightarrow a^2+b^2+c^2-ab-bc-ac=0\)
\(\Leftrightarrow2\left(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ac\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\left(a-b\right)^2+\left(b-c\right)^2+\left(c-a\right)^2=0\)
Do \(\left(a-b\right)^2\ge0;\left(b-c\right)^2\ge0;\left(c-a\right)^2\ge0\forall a;b;c\)
\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}\left(a-b\right)^2=0\\\left(b-c\right)^2=0\\\left(c-a\right)^2=0\end{matrix}\right.\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}a-b=0\\b-c=0\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}a=b\\b=c\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow a=b=c\left(đpcm\right)\)