Cho tam giác ABC cân tại A. Gọi M là trung điểm của BC. Từ M kẻ MD vuông AB, ME vuông AC (D thuộc AB, E thuộc AC). Chứng minh rằng:
a) ABM = ACM.
b) AM vuông BC.
c) AMD = AME và DE//BC.
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
a: Xét ΔABM và ΔACM có
AB=AC
\(\widehat{BAM}=\widehat{CAM}\)
AM chung
Do đó: ΔABM=ΔACM
b: Ta có: ΔABC cân tại A
mà AM là phân giác
nên AM là đường cao
c: Xét ΔAMD vuông tại D và ΔAME vuông tại E có
AM chung
\(\widehat{MAD}=\widehat{MAE}\)
Do đó: ΔAMD=ΔAME
Suy ra: AD=AE
a)Xét \(\Delta ABD\) và \(\Delta ACD\) có :
\(BD=DC\)
\(\widehat{ABD}=\widehat{ACD}\left(\Delta ABCcân\right)\)
AB= AC
=> \(\Delta ABD\) = \(\Delta ACD\) (c-g-c)
b) Vì \(\Delta ABC\) cân tại A nên AD vừa là đường trung tuyến vừa là đường cao
=> \(AD\perp BC\)
*Nếu chx học cách trên thì bạn xem cách dưới đây"
Vì \(\Delta ABD\) = \(\Delta ACD\) nên \(\widehat{ADB}=\widehat{ADC}\)
mà \(\widehat{ADB}+\widehat{ADC}=180^o\)
=> \(\widehat{ADB}=\widehat{ADC}=\dfrac{180^o}{2}=90^o\)
=> \(AD\perp BC\)
c)Xét \(\Delta EBD\) vuông tại E và \(\Delta FCD\) vuông tại F có :
\(\widehat{EBD}=\widehat{FCD}\)
\(BD=CD\)
=> \(\Delta EBD=\Delta FCD\left(ch-gn\right)\)
d) Vì D là trung điểm của BC nên \(DC=\dfrac{BC}{2}=\dfrac{12}{2}=6cm\)
Xét \(\Delta ADC\) vuông tại D có :
\(AC^2=AD^2+DC^2\)
\(100=AD^2+36\)
\(AD^2=100-36\)
\(AD^2=64\)
AD=8 cm
a: Xét tứ giác ADME có
\(\widehat{ADM}=\widehat{AEM}=\widehat{DAE}=90^0\)
=>ADME là hình chữ nhật
=>AM=DE
b:
MD\(\perp\)AB
AC\(\perp\)AB
Do đó: MD//AC
ME\(\perp\)AC
AB\(\perp\)AC
Do đó: ME//AB
Xét ΔABC có
M là trung điểm của BC
MD//AC
Do đó: D là trung điểm của AB
Xét ΔABC có
M là trung điểm của BC
ME//AB
Do đó: E là trung điểm của AC
Xét ΔBAC có
M,D lần lượt là trung điểm của BC,BA
=>MD là đường trung bình của ΔBAC
=>MD//AC và \(MD=\dfrac{AC}{2}\)
\(MD=\dfrac{AC}{2}\)
\(CE=\dfrac{AC}{2}\)
Do đó: MD=CE
MD//AC
\(E\in\)AC
Do đó: MD//CE
Xét tứ giác DMCE có
DM//CE
DM=CE
Do đó: DMCE là hình bình hành
c: Xét ΔABC có
D,E lần lượt là trung điểm của AB,AC
=>DE là đường trung bình của ΔABC
=>DE//BC
=>DE//HM
ΔHAC vuông tại H
mà HE là đường trung tuyến
nên \(HE=\dfrac{AC}{2}\)
mà \(MD=\dfrac{AC}{2}\)
nên HE=MD
Xét tứ giác DHME có
ED//MH
=>DHME là hình thang
Hình thang DHME có MD=HE
nên DHME là hình thang cân
a,
Ta có : D là trung điểm của BC
Mà Δ ABC cân tại A
=> AD là đường cao
=> AD là đường phân giác \(\widehat{BAC}\)
Xét Δ ABD và Δ ACD, có :
\(\widehat{ADB}=\widehat{ADC}=90^o\)
\(\widehat{ABD}=\widehat{ACD}\) (Δ ABC cân tại A)
\(\widehat{BAD}=\widehat{CAD}\) (AD là đường phân giác \(\widehat{BAC}\))
=> Δ ABD = Δ ACD (g.g.g)
b, Ta có : AD là đường cao (cmt)
=> AD ⊥ BC
c, Xét Δ AED và Δ AFD, có :
AD là cạnh chung
\(\widehat{AED}=\widehat{AFD}=90^o\)
\(\widehat{EAD}=\widehat{FAD}\) (AD là đường phân giác \(\widehat{BAC}\))
=> Δ AED = Δ AFD (g.c.g)
=> ED = FD
Xét Δ EBD vuông tại E và Δ FCD vuông tại F, có :
ED = FD
DB = DC (D là trung điểm BC)
=> Δ EBD = Δ FCD (ch - cgv)
d, Ta có : BC = 2DC (D là trung điểm BC)
=>12 = 2DC
=> DC = 6 (cm)
Xét Δ ADC vuông tại D, có :
\(AC^2=AD^2+DC^2\) (định lí Py - ta - go)
=> \(10^2=AD^2+6^2\)
=> \(64=AD^2\)
=> AD = 8 (cm)
a: Xét ΔAMB và ΔAMC có
AM chung
MB=MC
AB=AC
Do đó: ΔAMB=ΔAMC
Ta có: ΔABC cân tại A
mà AM là đường trung tuyến
nên AM là đường phân giác
b: Ta có: ΔABC cân tại A
mà AM là đường trung tuyến
nên AM là đường cao
c: Xét ΔAEM vuông tại E và ΔAFM vuông tại F có
AM chung
\(\widehat{EAM}=\widehat{FAM}\)
Do đó: ΔAEM=ΔAFM
Suy ra: AE=AF
Xét ΔABC có AE/AB=AF/AC
nên FE//BC
Cho △ABC có AB = AC, AM là phân giác của ∠BAC (M ∈ BC):
a, Chứng minh △ABM = △ACM.
b, Chứng minh M là trung điểm của BC và AM ⊥ BC.
c, Kẻ MF ⊥ AB (F ∈ AB) và ME ⊥ AC (E ∈ AC). Chứng minh EF // BC.
Giải:
a,
- Xét 2 △ABM và △ACM, có:
AB = AC (theo giả thiết)
∠CAM = ∠BAM (AM là phân giác của ∠BAC)
AM_cạnh chung
=> △ABM = △ACM (c.g.c)
b,
- Có △ABM = △ACM (chứng minh trên)
=> MC = MB (2 cạnh tương ứng)
=> M là trung điểm của BC
=> ∠AMC = ∠AMB (2 góc tương ứng)
mà 2 ∠AMC và ∠AMB kề bù
=> ∠AMC = ∠AMB = \(\dfrac{180^o}{2}\) = 90o
<=> AM ⊥ BC
c,
- Xét 2 △AEM và △AFM, có:
∠AEM = ∠AFM = 90o
AM_cạnh chung
∠EAM = ∠FAM (AM là phân giác của ∠EAF)
=> △AEM = △AFM (cạnh huyền - góc nhọn)
=> AE = AF (2 cạnh tương ứng)
<=> △AEF cân tại A
=> ∠AEF = \(\dfrac{180^o-\text{∠}EAF}{2}\) (số đo của một góc ở đáy trong △AEF cân tại A) (1)
Có △ABC cân tại A (AB = AC)
=> ∠ACB = \(\dfrac{180^o-\text{∠}BAC}{2}\) (số đo của một góc ở đáy trong ΔABC cân tại A) (2)
Từ (1) và (2) suy ra ∠AEF = ∠ACB
mà ∠AEF và ∠ACB ở vị trí đồng vị
=> EF//BC