Question

[Trần Nhật Minh]

Cho hình thang ABCD cân có AB//CD và AB < CD . Kẻ các đường cao AE, BF

A) chứng minh DE = CF

B) gọi I là giao điểm của 2 đường chéo hình thang ABCD . Chứng minh IA=IB

C) tia DA và tia CB cắt nhau tại O. Chứng minh OI vừa là trung trực của AB vừa là trung trực của DC

D) tính các góc của hình thang ABCD nếu biết

ABC-ADC =80°

Answer 1

[Green sea lit named Wang Junkai]

$a)$ Xét $\Delta AED$ và $\Delta BFC$ có:

        $\widehat{AED}=\widehat{BFC}(={90}^o)$

              $AD=BC(ABCD$ là hình thang)

          $\widehat{ADE}=\widehat{BCF}(ABCD$ là hình thang)

                $\Rightarrow \Delta AED=\Delta BFC($cạnh huyền- góc nhọn)

                $\Rightarrow DE=CF(2$ cạnh tương ứng)

$b)$ Xét $\Delta ADC$ và $\Delta BCD$ có:

          $AD=BC(ABCD$ là hình thang)

       $\widehat{ADC}=\widehat{BCD}(ABCD$ là hình thang)

            $CD$ chung

           $\Rightarrow \Delta ADC=\Delta BCD(c.g.c)$

            $\Rightarrow \widehat{ACD}=\widehat{BDC}(2$ góc tương ứng)

Ta có: $AB//CD$

     $\Rightarrow \widehat{ACD}=\widehat{IAB}$ và $\widehat{BDC}=\widehat{IBA}($2` góc so le trong bằng nhau)

         mà $\widehat{ACD}=\widehat{BDC}$

          $\Rightarrow \widehat{IAB}=\widehat{IBA}$

          $\Rightarrow \Delta IAB$ cân tại $I$

          $\Rightarrow IA=IB$

$c)\Delta IDC$ có:  $\widehat{ACD}=\widehat{BDC}$

      $\Rightarrow \Delta IDC$ cân tại $I$

       $\Rightarrow ID=IC$

$\Delta ODC$ có: $\widehat{ADC}=\widehat{BCD}$

   $\Rightarrow \Delta ODC$ cân tại $O$

    $\Rightarrow OD=OC$

Lại có: $OD=OA+AD$

           $OC=OB+BC$

    mà $OD=OC$

           $AD=BC$

     $\Rightarrow OA=OB$

Ta có: $O$ cách đều hai điểm $A$ và $B$

           $I$ cách đều hai điểm $A$ và $B$

     $\Rightarrow OI$ là đường trung trực của $AB$

Lại có: $O$ cách đều hai điểm $D$ và $C$

           $I$ cách đều hai điểm $D$ và $C$

     $\Rightarrow OI$ là đường trung trực của $DC$

$d)$ Ta có: $\widehat{ABC}-\widehat{ADC}={80}^o$

         mà $\widehat{ADC}=\widehat{BCD}$

           $\Rightarrow \widehat{ABC}-\widehat{BCD}={80}^o$

      mà $\widehat{ABC}+\widehat{BCD}={180}^o(2$ góc trong cúng phía bù nhau do $AB//CD)$

  $\to \widehat{ABC}=({180}^o$$+{80}^o):2={130}^o$

        $\widehat{BCD}=({180}^o-{80}^o):2={50}^o$

    mà $\widehat{ABC}=\widehat{DAB}$

                 $\Rightarrow \widehat{DAB}={130}^o$

            $\widehat{BCD}=\widehat{ADC}$

                   $\Rightarrow \widehat{ADC}={50}^o$