Cho P=(x+y)2+(y+z)2+(z+x)2
Q=(x+y)(y+z)+(y+z)(z+x)+(z+x)(x+y)
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
KB
3 tháng 10 2018
Đặt \(x+y=a,y+z=b;x+z=c\)
Ta có : \(P=Q\)
\(\Leftrightarrow a^2+b^2+c^2=ab+bc+ac\)
\(\Leftrightarrow2a^2+2b^2+2c^2=2ab+2bc+2ac\)
\(\Leftrightarrow2a^2+2b^2-2c^2-2ab-2bc-2ac=0\)
\(\Leftrightarrow\left(a^2-2ab+b^2\right)+\left(b^2-2bc+c^2\right)+\left(c^2-2ac+a^2\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\left(a-b\right)^2+\left(b-c\right)^2+\left(c-a\right)^2=0\)
Do \(\left(a-b\right)^2\ge0;\left(b-c\right)^2\ge0;\left(c-a\right)^2\ge0\forall a;b;c\)
\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}\left(a-b\right)^2=0\\\left(b-c\right)^2=0\\\left(c-a\right)^2=0\end{matrix}\right.\)\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}a-b=0\\b-c=0\\c-a=0\end{matrix}\right.\)\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}a=b\\b=c\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow a=b=c\)
\(\Rightarrow x+y=y+z=z+x\)
Lại có : \(\left\{{}\begin{matrix}x+y=y+z\\y+z=z+x\end{matrix}\right.\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=z\\x=y\end{matrix}\right.\)\(\Rightarrow x=y=z\)
Vậy \(P=Q\Leftrightarrow x=y=z\)
LD
3 tháng 10 2018
Đặt a = x+y, b = y+z, c = z+x thì
P = a2 + b2 + c2 và Q = ab + bc + ca
Khi P = Q
<=> a2 + b2 + c2 = ab + bc + ca
<=> 2a2 + 2b2 + 2c2 = 2ab + 2bc + 2ca
<=> (a2 - 2ab + b2) + (b2 - 2bc + c2) + (c2 - 2ca + a2) = 0
<=> (a - b)2 + (b - c)2 + (c - a)2 = 0
Vì mỗi số hạng lớn hơn hoặc bằng 0 nên dấu "=" xảy ra khi a = b = c
Vậy............................
NP
1
S
4 tháng 11 2018
Sửa đề cho x/y-z + y/z-x + z/x-y =0,tính Q=x/(y-z)^2 + y/(z-x)^2 + z/(x-y)^2
Ta có: \(\frac{x}{y-z}+\frac{y}{z-x}+\frac{z}{x-y}=0\Rightarrow\frac{x}{y-z}=-\left(\frac{y}{z-x}+\frac{z}{x-y}\right)\)
\(\Rightarrow\frac{x}{y-z}=\frac{y}{x-z}+\frac{z}{y-x}=\frac{y^2-xy+xz-z^2}{\left(x-y\right)\left(z-x\right)}\)
\(\Rightarrow\frac{x}{\left(y-z\right)^2}=\frac{y^2-xy+xz-z^2}{\left(x-y\right)\left(z-x\right)\left(y-z\right)}\)
Tương tự ta có: \(\frac{y}{\left(z-x\right)^2}=\frac{z^2-yz+yx-x^2}{\left(y-z\right)\left(z-x\right)\left(x-y\right)};\frac{z}{\left(x-y\right)^2}=\frac{x^2-zx+zy-y^2}{\left(z-x\right)\left(x-y\right)\left(y-z\right)}\)
Cộng ba đẳng thức trên vế theo vế, ta được:
\(\frac{x}{\left(y-z\right)^2}+\frac{y}{\left(z-x\right)^2}+\frac{z}{\left(x-y\right)^2}=\frac{y^2-xy+xz-z^2+z^2-yz+yx-x^2+x^2-zx+zy-y^2}{\left(x-y\right)\left(y-z\right)\left(z-x\right)}=0\)
Vậy Q = 0
30 tháng 6 2017
\(P=Q\) thì \(x=y=z\) lật lại là \(x=y=z\) thì \(P=Q\) ta thay vào xem nó đúng thật ko nhé :v
Với \(x=y=z\) thì \(P=\left(x+y\right)^2+\left(y+z\right)^2+\left(x+z\right)^2\)
\(=\left(x+x\right)^2+\left(x+x\right)^2+\left(x+x\right)^2\)
\(=\left(2x\right)^2+\left(2x\right)^2+\left(2x\right)^2=4x^2+4x^2+4x^2=12x^2\)
Với \(x=y=z\) thì \(Q=\left(x+y\right)\left(y+z\right)+\left(y+z\right)\left(x+z\right)+\left(x+z\right)\left(x+y\right)\)
\(=\left(x+x\right)\left(x+x\right)+\left(x+x\right)\left(x+x\right)+\left(x+x\right)\left(x+x\right)\)
\(=2x\cdot2x+2x\cdot2x+2x\cdot2x\)
\(=4x^2+4x^2+4x^2=12x^2\)
Rõ rằng là bằng nhau rồi tức là điều trên cũng đúng hay ta có ĐPCM
2 tháng 1 2019
a) \(A=\frac{2}{x-y}+\frac{2}{y-z}+\frac{2}{z-x}+\frac{\left(x-y\right)^2+\left(y-z\right)^2+\left(z-x\right)^2}{\left(x-y\right)\left(y-z\right)\left(z-x\right)}\)
\(=\frac{2\left(y-z\right)\left(z-x\right)+2\left(x-y\right)\left(z-x\right)+2\left(x-y\right)\left(y-z\right)+\left(x-y\right)^2+\left(y-z\right)^2+\left(z-x\right)^2}{\left(x-y\right)\left(y-z\right)\left(z-x\right)}\)
\(=\frac{\left[\left(x-y\right)+\left(y-z\right)+\left(z-x\right)\right]^2}{\left(x-y\right)\left(y-z\right)\left(z-x\right)}=\frac{\left(x-y+y-z+z-x\right)^2}{\left(x-y\right)\left(y-z\right)\left(z-x\right)}=0\)
Áp dụng: \(\left(a+b+c\right)^2=a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ac\)
2 tháng 1 2019
b)Ta có: \(\frac{x^2}{y+z}+x=\frac{x^2+x\left(y+z\right)}{y+z}=\frac{x^2+xy+xz}{y+z}=\frac{x\left(x+y+z\right)}{y+z}\)
Tương tự: \(\frac{y^2}{x+z}+y=\frac{y^2+xy+zy}{x+z}=\frac{y\left(x+y+z\right)}{x+z}\)
\(\frac{z^2}{x+y}+z=\frac{z^2+xz+zy}{x+y}=\frac{z\left(x+y+z\right)}{x+y}\)
Suy ra: \(A+\left(x+y+z\right)\)
\(=\frac{x\left(x+y+z\right)}{y+z}+\frac{y\left(x+y+z\right)}{z+x}+\frac{z\left(x+y+z\right)}{x+y}+\left(x+y+z\right)\)
\(=\left(x+y+z\right)\left(\frac{x}{y+z}+\frac{y}{z+x}+\frac{z}{x+y}+1\right)\)
\(=2.\left(x+y+z\right)\)
Nên \(A=2.\left(x+y+z\right)-\left(x+y+z\right)=x+y+z\)
Mình có sai chỗ nào không nhỉ?
AS
2
HN
5 tháng 5 2017
Ta có:
\(\left(\dfrac{x}{y+z}+\dfrac{y}{z+x}+\dfrac{z}{x+y}\right)\left(x+y+z\right)=\dfrac{x^2}{y+z}+\dfrac{y^2}{z+x}+\dfrac{z^2}{x+y}+x+y+z\)
\(\Leftrightarrow x+y+z=\dfrac{x^2}{y+z}+\dfrac{y^2}{z+x}+\dfrac{z^2}{x+y}+x+y+z\)
\(\Leftrightarrow\dfrac{x^2}{y+z}+\dfrac{y^2}{z+x}+\dfrac{z^2}{x+y}=0\)
Vậy ta có DPCM
