Chứng minh:\(\frac{n^5}{120}-\frac{n^3}{24}+\frac{2011}{30}\)là số nguyên \(\forall n\)một số chẵn
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
TM
27 tháng 9 2017
\(\frac{n}{12}+\frac{n^2}{8}+\frac{n^3}{24}=\frac{2n+3n^2+n^3}{24}=\frac{n^3+2n^2+n^2+2n}{24}=\frac{n^2\left(n+2\right)+n\left(n+2\right)}{24}\)
\(=\frac{\left(n^2+n\right)\left(n+2\right)}{24}=\frac{n\left(n+1\right)\left(n+2\right)}{24}\)
Do n chẵn nên n=2k (k nguyên) => n+2=2k+2=2(k+1) => n(n+2)=2k.2(k+1)=4k(k+1)
k(k+1) là 2 số nguyên liên tiếp, trong đó có ít nhất 1 số chẵn nên k(k+1) chia hết cho 2 => 4k(k+1) chia hết cho 8
=>n(n+2) chia hết cho 8=>n(n+1)(n+2) chia hết cho 8 (1)
Mặt khác n;n+1;n+2 là 3 số nguyên liên tiếp nên trong đó có ít nhất 1 số chia hết cho 3 (tự chứng minh hoặc xem cách chứng minh trên mạng nhé)
=>n(n+1)(n+2) chia hết cho 3 (2)
Từ (1) và (2) và (3;8)=1 => n(n+1)(n+2) chia hết cho 3.8=24
=>\(\frac{n\left(n+1\right)\left(n+2\right)}{24}\) nguyên => đpcm
12 tháng 9 2018
a, Ta có: \(\frac{n^5}{5}+\frac{n^3}{3}+\frac{7n}{15}=\frac{n^5-n}{5}+\frac{n}{5}+\frac{n^3-n}{3}+\frac{n}{3}+\frac{7n}{15}\)
\(=\frac{n^5-n}{5}+\frac{n^3-n}{3}+n\)
Chứng minh \(n^5-n⋮5\Rightarrow\frac{n^5-n}{5}\in Z\)
\(n^3-n⋮3\Rightarrow\frac{n^3-n}{3}\in Z\)
\(\Rightarrow\frac{n^5-n}{5}+\frac{n^3-n}{3}+n\in Z\)
=> Đpcm
b, Tương tự dùng tính chất chia hết
NH
0
TD
11
XO
19 tháng 9 2021
Ta có \(\frac{n^5}{30}+\frac{n^3}{6}+\frac{4n}{5}=\frac{n^5+5n^3+24n}{30}\)
Khi đó n5 + 5n3 + 24n
= n(n4 + 5n2 + 24)
= n(n4 + 5n2 - 6 + 30)
= n(n4 - n2 + 6n2 - 6) + 30n
= n[n2(n2 - 1) + 6(n2 - 1)] + 30n
= n(n2 + 6)(n2 - 1) + 30n
= n(n2 - 4 + 10)(n2 - 1) + 30n
= n(n2 - 4)(n2 - 1) + 10n(n2 - 1) + 30n
= (n - 2)(n - 1)n(n + 1)(n + 2) + 10(n - 1)n(n + 1) + 30n
Nhận thây (n - 2)(n - 1)n(n + 1)(n + 2) \(⋮\)30 (tích 5 số nguyên liên tiếp) (1)
10(n - 1)n(n + 1) \(⋮\)30 (2)
30n \(⋮\)30 (3)
Từ (1) ; (2) ; (3) => (n - 2)(n - 1)n(n + 1)(n + 2) + 10(n - 1)n(n + 1) + 30n \(⋮\)30
=> n5 + 5n3 + 24n \(⋮\)30
=> P \(\inℤ\)(ĐPCM)
20 tháng 8 2016
c) +) giả sử k chẵn--> k2 chẵn --> k2-k+1 lẻ
+) giả sử k lẻ --> k2 lẻ --> k2-k+1 lẻ
==> ko tồn tại k thuộc Z thỏa đề
d) sai
vì ví dụ x=-4<3 nhưng x2=(-4)2=16>9(ko thỏa đề)
15 tháng 8 2017
1. D= 1/3 + 1/3.4 + 1/3.4.5 + 1/3.4.5....n < 1/2 + 1/3.4 + 1/4.5 + ...+ 1/ n.(n-1)
=> còn lại thì bạn có thể tự chứng minh