Question

[nguyen thi bao tien]

Cho \(\Delta ABC\)nhọn với \(\widehat{BAC}=60^0.\)Chứng minh rằng: \(BC^2=AB^2+AC^2-AB.AC\)

Answer 1

[Nguyễn Linh Chi]

Kẻ BH vuông AC tại H

Ta có:

Tam giác BHC vuông tại H

Áp dụng định lí Pitago: \(BC^2=BH^2+HC^2\)

tam giác ABH vuông tại H nên ta suy ra: \(BH^2=AB^2-AH^2\)

và \(HC^2=\left(AC-AH\right)^2=AC^2-2AC.AH+AH^2\)

Vậy \(BC^2=AB^2-AH^2+AC^2-2AC.AH+AH^2=AB^2+AC^2-2AC.AH\)

Xét tam giác vuông AHB tại H có góc A =60 độ => góc B bằng 30 độ

Áp dụng định lí trong một tam giác vuông cạnh đối diện với góc 30 độ bằng một nửa cạnh huyền

nên ta có: \(AH=\frac{1}{2}AB\)hay 2AH=AB

Thay vào ta suy ra đc điều phải chứng minh

Answer 2

[zZz Cool Kid_new zZz]

Kẻ \(CH\perp AB\left(H\in AB\right)\)

Ta có:Xét \(\Delta AHC\) có:\(\widehat{CHA}=90^0,\widehat{HAC}=60^0\Rightarrow\widehat{ACH}=30^0\)

\(\Rightarrow AH=\frac{AC}{2}\)(Theo tính chất cạnh đối diện với góc 30 độ bằng một nửa cạnh huyền)

\(\Rightarrow HB=AB-HA=AB-\frac{AC}{2}\)

Xét \(\Delta HAC\) có:\(AC^2=HA^2+HC^2\Rightarrow HC^2=AC^2-AH^2=AC^2-\left(\frac{AC}{2}\right)^2=\frac{3}{4}AC^2\)(Theo định lý Pythagore)

Xét \(\Delta BCH\) có:\(BC^2=BH^2+CH^2=\left(AB-\frac{AC}{2}\right)^2+\frac{3}{4}AC^2\)

\(=\left(AB-\frac{AC}{2}\right)\left(AB-\frac{AC}{2}\right)+\frac{3}{4}AC^2\)

\(=AB\left(AB-\frac{AC}{2}\right)-\frac{AC}{2}\left(AB-\frac{AC}{2}\right)+\frac{3}{4}AC^2\)

\(=AB^2-AB\cdot AC+\frac{AC^2}{4}+\frac{3}{4}AC^2\)

\(=AB^2-AB\cdot AC+AC^2\left(đpcm\right)\)