bài 1: chứng minh rằng:
a,(a-b)^2 = (b-a)^2
b,(a+b)^2-(a-b)^2/4=a.b
c,(a+b)^2 -(a-b).(a+b)=2.b.(a+b)
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
a.
Ta có: \(a^2+b^2\ge\dfrac{1}{2}\left(a+b\right)^2=\dfrac{1}{3}.2^2=2\) (đpcm)
Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=1\)
b.
\(a^4+b^4\ge\dfrac{1}{2}\left(a^2+b^2\right)^2\ge\dfrac{1}{2}.2^2=2\) (sử dụng kết quả \(a^2+b^2\ge2\) của câu a)
Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=1\)
c.
\(a^2b^2\left(a^2+b^2\right)=\dfrac{1}{2}ab.2ab\left(a^2+b^2\right)\le\dfrac{1}{8}\left(a+b\right)^2\left(2ab+a^2+b^2\right)^2=2\)
d.
\(8\left(a^4+b^4\right)+\dfrac{1}{ab}\ge8.2+\dfrac{4}{\left(a+b\right)^2}=16+\dfrac{4}{2^2}=17\) (sử dụng kết quả câu b)
a) \(\left(a+b+c\right)\left(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ac\right)\)
\(=\left(a+b+c\right)\left(a^2+b^2+c^2\right)-\left(a+b+c\right)\left(ab+bc+ac\right)\)
\(=a^3+ab^2+ac^2+a^2b+b^3+c^2b+a^2c+b^2c+c^3-a^2b-abc-a^2c-ab^2-b^2c-abc-abc-bc^2-ac^2\)
\(=a^3+b^3+c^3-3abc\left(đpcm\right)\)
b) Bạn chỉ cần nhân bung cả 2 vế ra là được á .
c) \(2\left(a+b+c\right)\left(\dfrac{b}{2}+\dfrac{c}{2}-\dfrac{a}{2}\right)\)
\(=2\left(a+b+c\right)\left(\dfrac{b+c-a}{2}\right)\)
\(=\left(a+b+c\right)\left(b+c-a\right)\)
\(=ab+ac-a^2+b^2+bc-ab+bc+c^2-ac\)
\(=2bc+b^2+c^2-a^2\left(đpcm\right)\)
1) Áp dụng bunhiacopxki ta được \(\sqrt{\left(2a^2+b^2\right)\left(2a^2+c^2\right)}\ge\sqrt{\left(2a^2+bc\right)^2}=2a^2+bc\), tương tự với các mẫu ta được vế trái \(\le\frac{a^2}{2a^2+bc}+\frac{b^2}{2b^2+ac}+\frac{c^2}{2c^2+ab}\le1< =>\)\(1-\frac{bc}{2a^2+bc}+1-\frac{ac}{2b^2+ac}+1-\frac{ab}{2c^2+ab}\le2< =>\)
\(\frac{bc}{2a^2+bc}+\frac{ac}{2b^2+ac}+\frac{ab}{2c^2+ab}\ge1\)<=> \(\frac{b^2c^2}{2a^2bc+b^2c^2}+\frac{a^2c^2}{2b^2ac+a^2c^2}+\frac{a^2b^2}{2c^2ab+a^2b^2}\ge1\) (1)
áp dụng (x2 +y2 +z2)(m2+n2+p2) \(\ge\left(xm+yn+zp\right)^2\)
(2a2bc +b2c2 + 2b2ac+a2c2 + 2c2ab+a2b2). VT\(\ge\left(bc+ca+ab\right)^2\) <=> (ab+bc+ca)2. VT \(\ge\left(ab+bc+ca\right)^2< =>VT\ge1\) ( vậy (1) đúng)
dấu '=' khi a=b=c
\(1.VP\)
\(\left(a+b\right)^2-2ab=a^2+2ab+b^2-2ab\)
\(=a^2+b^2=VT\left(DPCM\right)\)
1/ (a + b)2 - 2ab = a2 + 2ab + b2 - 2ab = a2 + b2 + (2ab - 2ab) = a2 + b2
2/ (a2 + b2)2 - 2a2b2 = a4 + 2a2b2 + b4 - 2a2b2 = a4 + b4 + (2a2b2 - 2a2b2) = a4 + b4
a: \(A=4+2^2+2^3+...+2^{20}\)
=>\(2A=8+2^3+2^4+...+2^{21}\)
=>\(2A-A=2^{21}+2^{20}+...+2^4+2^3+8-2^{20}-2^{19}-...-2^3-2^2-4\)
\(=2^{21}+8-2^2-4=2^{21}\)
=>\(A=2^{21}\) là lũy thừa của 2
b:
\(B=3+3^2+3^3+...+3^{100}\)
=>\(3B=3^2+3^3+...+3^{101}\)
=>\(2B=3^{101}-3\)
=>\(2B+3=3^{101}\) là lũy thừa của 3