cho a,b,c la do dai 3 canh cua mot tam giac thoa man dieu kien \(\sqrt{a+b-c}+\sqrt{b+c-a}+\sqrt{c+a-b}=\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}\)
chung minh a,b,c la 3 canh cua mot tam giac deu
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
do (a-b)2\(\ge\)0 ;(b-c)2\(\ge\)0
\(\Rightarrow\)(a-b)2+(b-c)2\(\ge\)0
mà (a-b)2+(b-c)2=0 (đề bài cho)
\(\Rightarrow\)(a-b)2=0;(b-c)2=0
\(\Rightarrow\)a-b=b-c=0
\(\Rightarrow\)a=b=c
Vậy tam giác ABC đều
Từ a3 + b3 + c3 = 3abc
<=> (a + b)(a2 - ab + b2) + c3 - 3abc = 0
<=> (a + b)3 + c3 - 3ab(a + b) - 3abc = 0
<=> (a + b + c)(a2 + 2ab + b2 - ac - bc + c2) - 3ab(a + b + c) = 0
<=> (a + b + c)(a2 + b2 + c2 - ab - ac - bc) = 0
<=> \(\orbr{\begin{cases}a+b+c=0\left(loại\right)\\a^2+b^2+c^2-ab-ac-bc=0\end{cases}}\)
<=> 2a2 + 2b2 + 2c2 - 2ab - 2ac - 2bc = 0
<=> (a - b)2 + (b - c)2 + (c - a)2 = 0
<=> a = b = c
=> tam giác đó là tam giác đều
b) Áp dụng bđt \(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\ge\frac{9}{a+b+c}\)
CM đúng (tự cm tđ)
Ta có: \(\frac{1}{x^2+2yz}+\frac{1}{y^2+2xz}+\frac{1}{z^2+2xy}\ge\frac{9}{x^2+y^2+z^2+2xy+2yz+2xz}=\frac{9}{\left(x+y+z\right)^2}=9\)(vì x + y + z = 1)
Dấu "=" xảy ra <=> x = y = z = 1/3
a) Vì a, b, c là độ dài ba cạnh của một tam giác => a, b, c > 0
Ta có : a3 + b3 + c3 = 3abc
<=> a3 + b3 + c3 - 3abc = 0
<=> ( a + b )3 - 3ab( a + b ) + c3 - 3abc = 0
<=> [ ( a + b )3 + c3 ] - [ 3ab( a + b ) + 3abc ] = 0
<=> ( a + b + c )( a2 + b2 + c2 + 2ab - ac - bc ) - 3ab( a + b + c ) = 0
<=> ( a + b + c )( a2 + b2 + c2 - ab - ac - bc ) = 0
<=> \(\orbr{\begin{cases}a+b+c=0\\a^2+b^2+c^2-ab-ac-bc=0\end{cases}}\)
Dễ thấy không thể xảy ra trường hợp a + b + c = 0 vì a, b, c > 0
Xét TH còn lại ta có :
a2 + b2 + c2 - ab - ac - bc = 0
<=> 2(a2 + b2 + c2 - ab - ac - bc) = 2.0
<=> 2a2 + 2b2 + 2c2 - 2ab - 2ac - 2bc = 0
<=> ( a2 - 2ab + b2 ) + ( b2 - 2bc + c2 ) + ( c2 - 2ac + a2 ) = 0
<=> ( a - b )2 + ( b - c )2 + ( c - a )2 = 0 (*)
Ta có : \(\hept{\begin{cases}\left(a-b\right)^2\\\left(b-c\right)^2\\\left(c-a\right)^2\end{cases}}\ge0\forall a,b,c\Rightarrow\left(a-b\right)^2+\left(b-c\right)^2+\left(c-a\right)^2\ge0\forall a,b,c\)
Dấu "=" xảy ra <=> \(\hept{\begin{cases}a-b=0\\b-c=0\\c-a=0\end{cases}}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}a=b\\b=c\\c=a\end{cases}}\Leftrightarrow a=b=c\)
=> Tam giác đó là tam giác đều ( đpcm )
bài toán cm cái này phải không :a^2 +b^2 > c^2
cho cái đề cm cái gì
A'G cắt B'C' tại E vì tam giác ABC nên A'E vuông góc B'C'
Giao tuyến của mặt phẳng BCC'B' và mp A'B'C' là B'C' mà A'E vuông góc B'C' và CC' cũng vuông góc với B'C' nên góc giữa 2 mp nớ = góc giữa A'E và CC' bằng luôn 60
mà CC' song song AA' nên góc giữa AA' và A'E bằng 60
Diện tích đáy chắc em tính được còn chiều cao AG thì em xét tam giác vuông AGA' có A'G rồi thì có góc GA'A = 60 rồi => AG rồi suy ra diện tích :D
Sửa VP = \(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\)
Vì a, b, c là độ dài ba cạnh của một tam giác
=> a, b, c > 0
Áp dụng bất đẳng thức \(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\ge\frac{4}{a+b}\)( cái này bạn tự chứng minh nhé ) ta có :
\(\frac{1}{a+b-c}+\frac{1}{a+c-b}\ge\frac{4}{a+b-c+a+c-b}=\frac{4}{2a}=\frac{2}{a}\)
TT : \(\frac{1}{a+c-b}+\frac{1}{b+c-a}\ge\frac{4}{a+c-b+b+c-a}=\frac{4}{2c}=\frac{2}{c}\)
\(\frac{1}{a+b-c}+\frac{1}{b+c-a}\ge\frac{4}{a+b-c+b+c-a}=\frac{4}{2b}=\frac{2}{b}\)
Cộng theo vế ta có :
\(\frac{1}{a+b-c}+\frac{1}{a+c-b}+\frac{1}{a+c-b}+\frac{1}{b+c-a}+\frac{1}{a+b-c}+\frac{1}{b+c-a}\ge\frac{2}{a}+\frac{2}{b}+\frac{2}{c}\)
\(\Leftrightarrow2\left(\frac{1}{a+b-c}+\frac{1}{a+c-b}+\frac{1}{b+c-a}\right)\ge2\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)\)
\(\Leftrightarrow\frac{1}{a+b-c}+\frac{1}{a+c-b}+\frac{1}{b+c-a}\ge\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\)( đpcm )
Đẳng thức xảy ra ⇔ a = b = c