Question

[Nguyễn Thùy Chi]

Cho đa thức

B(\(x\))=\(x.\left(\dfrac{x^2}{2}-\dfrac{1}{2}x^3+\dfrac{1}{2}x\right)-\left(\dfrac{x}{3}-\dfrac{1}{2}x^4+x^2-\dfrac{x}{3}\right)\)

a) Tìm bậc của đa thức B(\(x\))

b) Tính B\(\left(\dfrac{1}{2}\right)\)

c) CMR: Đa thức B(\(x\)) nhận giá trị nguyên với mọi \(x\in Z\)

Answer 1

[Akai Haruma]

Lời giải:

Thực hiện khai triển và rút gọn thu được:

\(B=\frac{x^3}{2}-\frac{1}{2}x^4+\frac{1}{2}x^2+\frac{1}{2}x^4-x^2\)

\(=\frac{x^3}{2}-\frac{x^2}{2}\)

a) Từ biểu thức rút gọn trên suy ra bậc của B(x) là $3$

b) \(B(\frac{1}{2})=\frac{\frac{1}{2^3}}{2}-\frac{(\frac{1}{2})^2}{2}=-\frac{1}{16}\)

c) \(B=\frac{x^3}{2}-\frac{x^2}{2}=\frac{x^2(x-1)}{2}=\frac{x.x(x-1)}{2}\)

Vì \(x(x-1)\) là tích 2 số nguyên liên tiếp nên \(x(x-1)\vdots 2\)

\(\Rightarrow \frac{x(x-1)}{2}\in\mathbb{Z}\)

\(\Rightarrow B=x.\frac{x(x-1)}{2}\in\mathbb{Z}\)

Ta có đpcm.